13．(2010·郑州一检)下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是__________(把正确的命题序号全部填在横线上)．

解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．

答案：③④

12．(2010·南昌一调)如图5，在棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A-A′D′-B′所围成的几何体的体积为

(　)

图5

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　　　 D.

解析：依题意可知|FP|＝|MN|＝1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是×(π×1³)＝π，选C.

答案：C

11．(2009·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

图4

　(　)

A．南　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．北

C．西　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．下

解析：将展开图还原成原来的正方体可知选B.

答案：B

10．(2010·江西五校联考)如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于

(　)

图3

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意可知，折起后平面ABC⊥平面BCD，又∵DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AD，AD∩DC＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∴∠CAD即为二面角C-AB-D的平面角θ，在直角三角形ACD中，易求得

sinθ＝，故选C.

答案：C

9．(2010·保定调研)在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为

(　)

A．arccos　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．45°

C．arctan　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．arctan

解析：连接SF，则SF⊥平面ABC.连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EG∥SF，∴EG⊥平面ABC，∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角．

图2

设正四面体的边长为a，则AH＝a，且AF＝AH＝a；

在Rt△AGE中，AE＝，AG＝AF＝a，∠EGA＝90°，

∴EG＝＝a.

在Rt△EGF中，FG＝AF＝a，EG＝a，∠EGF＝90°，

∴tan∠EFG＝＝，∴∠EFG＝arctan，即EF与平面ABC所成的角为arctan，故选C.

答案：C

8．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意易知∠ABC₁即为AD与BC₁所成的角，解△ABC₁，得余弦为.

答案：D

7．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：设球心O到平面ABC的距离为h，由等体积法可知，V_O－ABC＝V_C－AOB，即h·S_△ABC＝OC·S_△AOB，即h＝＝＝.

答案：B

6．设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连结MB、MC，若∠BMC＝90°，则的值为

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．1

解析：设正四面体的棱长为a，MH＝x，则MC²＝MB²＝MH²+BH²＝x²+a²，在Rt△BMC中，由MB²+MC²＝BC²，得2(x²+a²)＝a²，解得x＝a，∴AM＝MH＝AH，即＝1.

答案：D

5．正方体A′B′C′D′－ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|＝b(b<a)，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′－EFQ的体积为

(　)

图1

A．与E、F位置有关

B．与Q位置有关

C．与E、F、Q位置都有关

D．与E、F、Q位置均无关，是定值

解析：V_A′－EFQ＝V_Q－A′EF.

答案：D

4．(2010·浙江温州八校联考)已知直线a，如果直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值，则这样的直线b

(　)

A．唯一确定　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．有2条

C．有4条　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．有无数条

解析：找出模型，如墙角处考虑D正确．

答案：D