2.　 检验酒精中是否含有少量水，应选用的试剂是

A. 无水氯化钙　　 B. 金属钠　　 C. 无水硫酸铜　　 D. 生石灰

1. 能用于鉴别淀粉、肥皂和蛋白质三种溶液的一种试剂是

A．碘水　　　 B. 浓硝酸　　　 C. NaOH溶液　　　 D. MgSO₄溶液

13．(20分)(2009·上海高考)已知函数y＝f^－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x+a)与y＝f^－1(x+a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f^－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．

(1)判断函数g(x)＝x²+1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；

(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；

(3)设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．

解：(1)函数g(x)＝x²+1(x>0)的反函数是g^－1(x)＝(x>1)，∴g^－1(x+1)＝(x>0)，

而g(x+1)＝(x+1)²+1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，

故函数g(x)＝x²+1(x>0)不满足“1和性质”．

(2)设函数f(x)＝kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.

∴f^－1(x)＝(x∈R)，∴f^－1(x+2)＝，

而f(x+2)＝k(x+2)+b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x+b(b∈R)．

(3)设a>0，x₀>0，且点(x₀，y₀)在y＝f(ax)图象上，则(y₀，x₀)在函数y＝f^－1(ax)图象上，故可得ay₀＝f(x₀)＝af(ax₀)．令ax₀＝x，则a＝，∴f(x₀)＝f(x)，即f(x)＝.

综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f^－1(ax)＝，故y＝f(ax)与y＝f^－1(ax)互为反函数．

12．(15分)设函数f(x)＝2^x－1有反函数f^－1(x)，g(x)＝log₄(3x+1)，

(1)若f^－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；

(2)设H(x)＝g(x)－f^－1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域及它的反函数H^－1(x)．

解：(1)∵f(x)＝2^x－1的定义域是R，值域是(－1，+∞)．由y＝2^x－1解得x＝log₂(y+1)(y>－1)，

∴f^－1(x)＝log₂(x+1)(x>－1)，于是f^－1(x)≤g(x)即为log₂(x+1)≤log₄(3x+1)，即

∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．

(2)H(x)＝g(x)－f^－1(x)＝log₄(3x+1)－log₂(x+1)

＝log₂＝log₂(3－)．

∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.

∴0≤log₂(3－)≤.

∴H(x)的值域为[0，]．

由y＝log₂(3－)得3－＝2^2y，

∴＝3－4^y，x+1＝，x＝，y∈[0，]．

∴H^－1(x)＝(x∈[0，])．

11．(15分)求y＝lg(x－)的反函数．

解：由x－>0，得x>，

∴　∴x≥2.

∴lg(x－)＝lg≤lg＝lg2.

由y＝lg(x－)．得

x－＝10^y，＝x－10^y.

∴x²－4＝x²－2·10^yx+10^2y.

∴x＝(4·10^－y+10^y)．

故f^－1(x)＝(10^x+4·10^－x)，x∈(－∞，lg2]．

10．(2009·重庆二次调研)若函数f(x)＝log₂(4^x－2)，则方程f^－1(x)＝x的解是__________．

解析：由f^－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log₂(4^x－2)，即2^x＝4^x－2，∴2^x＝2.∴x＝1.

答案：x＝1

9．已知函数f(x)＝的反函数f^－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a的值为__________．

解析：因为f^－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，则f(x)的图象可由g(x)＝－的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a+1＝3，即a＝2.

答案：2

8．(2009·成都一诊)设函数f(x)＝e^2(x－1)，y＝f^－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，

则g[g(－1)]＝__________.

解析：依题意得g(－1)＝－1+2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f^－1(1)．设f^－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e^2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.

答案：1

7．函数y＝(x>1)的反函数是__________．

解析：依题意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函数y＝(x>1)的反函数是y＝(x>1)．

答案：y＝(x>1)

6．(2010·唐山一模)函数y＝(x≤1且x∈R)的图象与其反函数图象的交点共有(　)

A．1个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4个

解析：求其反函数为y＝1－x²(x≥0)，由，判断其解的个数即可．

答案：C