19．(12分)已知圆C的圆心在直线l₁：x－y－1＝0上，与直线l₂：4x+3y+14＝0相切，且截得直线l₃：3x+4y+10＝0所得弦长为6，求圆C的方程．

解：设圆心C(a，b)，半径为r.

则a－b－1＝0，r＝，

＝.

所以－＝9.

即＝9.

因为a－b＝1，

所以＝9，a+b＝3.

由解之得

故所求圆C的方程为(x－2)²+(y－1)²＝25.

18．(12分)已知直线l夹在两条直线l₁：3x+y－2＝0和l₂：x+5y+10＝0之间的线段被点D(2，－3)平分，求直线l的方程．

解：设l与l₁交点为A(x₁，y₁)，与l₂交点为B(x₂，y₂)，

∵D(2，－3)是AB中点，

∴＝2，＝－3.

因此

B(x₂，y₂)在l₂上，得x₂+5y₂+10＝0，

即4－x₁+5(－6－y₁)+10＝0.

由此得解之得

∴A(，－)，又直线l过A、D两点，

所以直线方程为＝.

化为一般形式得l的方程为4x－y－11＝0.

17．(12分)求与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．

解：设所求直线方程为y＝kx或+＝1(a≠0)．

对于y＝kx，

5＝，9k²+24k+16＝0，

解之得k＝－.

对于x+y＝a,5＝，

解之得a＝7+5或7－5.

故所求直线方程为

y＝－x或x+y－7－5＝0或x+y－7+5＝0.

16．(2010·安徽巢湖一检)过点M(，1)的直线l与圆C：(x－1)²+y²＝4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为__________．

解析：由平面几何知识可知，当l与CM垂直时∠ACB最小．

∵k_CM＝＝－2，

∴k_l＝，故直线l方程为y－1＝(x－)，即2x－4y+3＝0.

答案：2x－4y+3＝0

15．过点P(－3，－)且被圆x²+y²＝25所截得的弦长为8的直线方程为__________．

解析：由题意知，过P的直线y+＝k(x+3)⇒2kx－2y+6k－3＝0，圆心到直线的距离

d＝＝3⇒k＝－，验证知x＝－3满足条件．

故直线方程为3x+4y+15＝0或x＝－3.

答案：3x+4y+15＝0或x＝－3.

14．不等式组：表示的平面区域内的整点坐标为__________．

解析：如图3可知其整点坐标为

(－1，－1)．

答案：(－1，－1)

13．已知直线l₁：2x+m²y－2＝0，直线l₂：mx+2y－1＝0，若l₁⊥l₂，则m＝__________.

解析：由题意知m＝0时l₁⊥l₂，又因m≠0时，

(－)·()＝－1⇒m＝－1.

答案：0或－1

图3

12．已知向量m＝(a－2b，a)，n＝(a+2b,3b)，且m，n的夹角为钝角，则在平面aOb上，满足上述条件及a²+b²≤1的点(a，b)所在的区域面积S满足　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．S＝π　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．S＝

C．S> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．S<

图2

解析：∵m，n的夹角为钝角，

∴cos〈m，n〉＝<0，

∴m·n<0，而

(a－2b，a)·(a+2b,3b)＝a²－4b²+3ab＝(a+4b)(a－b)<0.

∴或，

画出上述可行域及a²+b²≤1(如图2)．

显然直线b＝a与b＝－a的夹角为锐角．

∴S<.故应选D.

答案：D

11．已知三点A(－2,1)，B(－3，－2)，C(－1，－3)和动直线l：y＝kx，当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．点A在l上　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．点B在l上

C．点C在l上　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．点A、B、C均不在l上

解析：点A、B、C到直线l的距离的平方和为：

d＝

＝14－.

要使d最小，显然k>0，

此时d＝14－≥14－7＝7.

当且仅当k＝，即k＝1时，等号成立．

所以，当k＝1时，d取最小值，此时点A、B、C均不在直线y＝x上．故选D.

答案：D

10．已知点M(0,1)、A(1,1)、B(0,2)，且＝cosθ+sinθ(θ∈[0，π])，则点P的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．x²+y²＝1(x≥0)

B．x²+y²＝1(y≥0)

C．x²+(y－1)²＝1(y≤1)

D．x²+(y－1)²＝1(y≥1)

解析：设P(x，y)，则＝(x，y－1)，

又＝(1,0)，＝(0,1)，故有(x，y－1)＝(cosθ，sinθ)，

∴x²+(y－1)²＝1.

又∵θ∈[0，π]，∴y＝sinθ+1≥1.∴选D.

答案：D