4.解析:(1)设椭圆方程为
将、
、
代入椭圆E的方程,得
解得
.
∴椭圆的方程
(4分)
(2),设
边上的高为
当点在椭圆的上顶点时,
最大为
,所以
的最大值为
.
设的内切圆的半径为
,因为
的周长为定值6.所以
,
所以的最大值为
.所以内切圆圆心的坐标为
(10分)
(3)法一:将直线代入椭圆
的方程
并整理.
得.
设直线与椭圆
的交点
,
由根系数的关系,得.
直线的方程为:
,它与直线
的交点坐标为
同理可求得直线
与直线
的交点坐标为
.
下面证明、
两点重合,即证明
、
两点的纵坐标相等:
,
因此结论成立.
综上可知.直线与直线
的交点住直线
上. (16分)
法二:直线的方程为:
由直线的方程为:
,即
由直线与直线
的方程消去
,得
∴直线与直线
的交点在直线
上.
4.(金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科))
(本题满分16分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
、
、
三点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若点D为椭圆上不同于
、
的任意一点,
,当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线与椭圆
交于
、
两点,证明直线
与直线
的交点在直线
上.
3.(本小题满分15分)
解:(I)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x 6分
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,由题设可知直线l的方程是x=,此时,A(
,
),
B(,-
),不符合
当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),
9分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=
∵
∴y1y2=-4, ∴b+2k=0 ① 11分
又点O到直线l距离为得
②
13分
由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2,
所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2
3.浙江省嘉兴市文(本小题满分15分)
设点P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(,0)的距离比点P到y轴的距离大
.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程:
(Ⅱ)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点,且,点O到直线l的距离为
,求直线l的方程.
2.(1)F(-c,0),B(0,),∵kBF=
,kBC=-
,C(3c,0)
且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2,圆M与直线l1:x+u+3=0相切,
∴ ,解得c=1,
∴所求的椭圆方程为
6分
(2) 点A的坐标为(-2,0),圆M的方程为(x-1)2+y2=4,
过点A斜率不存在的直线与圆不相交,设直线l2的方程为y=k(x+2),
∵,又
,∴cos<MP,MQ>=
∴∠PMQ=120°,圆心M到直线l2的距离d=,所以
,∴k=
所求直线的方程为x×2+2=0.
15分
2.浙江省嘉兴市(本小题满分15分)
如图,F是椭圆(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
.点C在x轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线l1:
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)过点A的直线l2与圆M交于PQ两点,且,求直线l2的方程.
1、解:(1)由已知可设抛物线方程为
又抛物线过(0,0)和(2,-10) (2分)
代入解得,
所以解析式为: (5分)
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为米时,即
时,
(7分)
所以此时运动员距水面距离为,故此次跳水会出现失误 (10分)
(3)要使得某次跳水成功,必须
解不等式得
所以运动员此时距池边的水平距离最大为米。 (15分)
1.浙江省嘉兴市2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算,跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,
身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是
一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件),
且在跳某个规定动作时,正常情况下运动员在空中的最
高点距水面米,入水处距池边4米,同时运动员在
距水面5米或5米以上时,必须完成规定的翻腾动作,
并调整好入水姿势,否则就会出现失误。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中
的运动轨迹为(1)中的抛物线,且运动员在空中
调整好入水姿势时距池边的水平距离为米,问
此次跳水会不会失误?请通过计算说明理由;
(3)某运动员按(1)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多大?
2.(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文))若抛物线的焦点与双曲线
的左焦点
重合,则的值 .
答案:4
1. (2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(文))以抛物线的顶点为圆心,焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______。
答案:x2 +y2 =4
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