3.用数学归纳法证明“1+++…+＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n=k(k＞1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是　　 　　　　　　　　　　　(　 )

A.2^k－1　　 　　　　B.2^k－1 　　　　　C.2^k 　　　　　　　D.2^k+1

[填空题]

2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为　　 (　 )

A.f(n)+n+1　　　　 B.f(n)+n　　　　 C.f(n)+n－1　　　　 D.f(n)+n－2

1.设，则(　 )

　　 A．　 B．　 C．　　　 D．

2.题型.方法.思想：证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；

证明的关键是”找出n与n+1的递推关系,用好归纳假设,凑出结论”

同步练习　　　　 3．1数学归纳法

　 [选择题]

1.数学归纳法的步骤、原理、注意事项：

[例1]用数学归纳法证明等式：

.

[证明]

. 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；

. 假设时等式成立，即

，

∴当时，左边

=右边，即时等式成立，

根据，等式对都正确.

[例2]是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

解：由f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9，得f(1)=36， f(2)=3×36， f(3)=10×36， f(4)=34×36，由此猜想m=36.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=1时，显然成立.

(2)假设n=k时， f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除;当n=k+1时，［2(k+1)+7］·3^k+1+9=3［(2k+7)·3^k+9］+18(3^k－1－1)，

由于3^k－1－1是2的倍数，故18(3^k－1－1)能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除.

由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36.

方法提炼：本题是探索性命题，它通过观察、归纳、特殊化猜想出结论，再用数学归纳法证明。

[例3]已知y=f(x)满足f(n－1)=f(n)－lga^n－1(n≥2，n∈N)且f(1)=－lga，是否存在实数α、β使f(n)=(αn²+βn－1)lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论.

解：∵f(n)=f(n－1)+lga^n－1，令n=2，则f(2)=f(1)+f(a)=－lga+lga=0.

又f(1)=－lga，

∴　　 ∴　　 ∴f(n)=(n²－n－1)lga.

证明：(1)当n=1时，显然成立.

(2)假设n=k时成立，即f(k)=(k²－k－1)lga，

则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga=(k²－k－1+k)lga=［(k+1)²－(k+1)－1］lga.

∴当n=k+1时，等式成立.

综合(1)(2)可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f(n)=(αn²+βn－1)lga对任意n∈N*都成立.

解题回顾：本题与例2同是探索性命题，取n=2求出α、β,再证明一般性。

[例4](2006江西)已知数列满足:.

(1) 求数列{a_n}的通项公式;

(2) 证明:对一切正整数n,不等式a₁.a₂.……a_n<2.n! 恒成立.

　　 解： (1)将条件变为:,,因此, 为一个等比数列.

　　　 其首项为,公比为,从而

　　　 据此得.

(2)证:据①得为证

只要证时有.…………②

显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N*

…………③

用数学归纳法证明③式：

1⁰当n=1时，显然③式成立，

2⁰设时，③式成立

即记此式为f(k)≥g(k)……④

　　　 则当n=k+1时，只需证

即 代④知只需证：f(k)≤1.此式显然成立。

∴n=k+1时,不等式成立。由归纳原理知，不等式对任意正整数n都成立。

拓展发散：题(1)对递推公式变形后,整体代换把看成一个数列,处理得好.

若用“猜想+证明”的方法求通项公式，就有点难。

[研讨.欣赏]如下图，设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=上的点列，Q₁，Q₂，Q₃， …，Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n－1Q_nP_n，…都是正三角形，设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

证明：(1)当n=1时，点P₁是直线y=x与曲线y=的交点，

∴可求出P₁(，).

∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=，命题成立.

(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1)，则点Q_k的坐标为(k(k+1)，0)，

∴直线Q_kP_k+1的方程为y=[x－k(k+1)].代入y=，解得P_k+1点的坐标为

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a _k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴当n=k+1时，命题成立.

由(1)(2)可知，命题对所有正整数都成立.

解法点评：

本题的关键是求出P_k+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q_kP _k+1|.

6.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1，2，3，…)，则第n－2个图形中共有____________个顶点.

简答:1-4.BCBD; 5. ;　 6. 观察规律…第n－2个图形有(n+2－2)²+(n+2－2)=n²+n个顶点

5．平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，猜想这n条直线交点的个数为　　 .

4.(2004太原模拟)若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　 )

3.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　　 A．时等式成立　　　　　　　　　　　　 B．时等式成立

　　　 C．时等式成立　　　　　　　　　　　 D．时等式成立