6.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1>Dξ2,则自动包装机________的质量较好.
7.若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数,则的最大值为 .
解:随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,从而Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
==2-(2p+)≤2-2
当且仅当2p=,即p=时,取得最大值2-2.
◆答案:1-3.DBC;
3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目ξ的期望为
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
4. (2006福建)一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是___。
5. (2006四川)设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b=__________
1.(2005江苏)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )
A.9.4, 0.484 B.9.4, 0.016 C.9.5, 0.04 D.9.5, 0.016
2.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是 ( )
A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099
C.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-k D.P(ξ=k)=C·0.99k·0.0110-k
6.二项分布的期望和方差:若ξ-B(n,p),则Eξ=np, np(1-p)
7.几何分布的期望和方差:若ξ服从几何分布g(k,p)= ,则
,
证明:
令
,
5.会用求和符号Σ:如Eξ=xi pi,Dξ=(xi-Eξ)2pi,
3.随机变量的数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
则称 Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn… 为ξ的数学期望,简称期望.也叫平均数,均值.
(1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b
(3)求期望的方法步骤: ①确定随机变量的所有取值;
②计算第个取值的概率并列表; ③由期望公式计算期望值。
4. 方差: Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…
(1) 标准差:Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作
(2)方差的性质: D(aξ+b)=a2Dξ; Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2
(3)方差的求法步骤:
①求分布列; ②求期望; ③由公式计算方差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
2.方差及计算方法
(1)对于一组数据x1,x2,…,xn,
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
叫做这组数据的方差,而s叫做标准差.
(2)方差公式: s2=[(x12+x22+…+xn2)-n2]
(3)当数据x1,x2,…,xn中各值较大时,可将各数据减去一个适当的常数a,得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a
则s2=[(x1′2+x2′2+…+xn′2)-n]
1.平均数及计算方法
(1)对于n个数据x1,x2,…,xn,=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数据的平均数,
(2)当数据x1,x2,…,xn的数值较大时,可将各数据同时减去一个适当的常数a,得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a,那么,= +a.
(3)如果在n个数据中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(f1+f2+…+fk=n),那么=,叫加权平均数.
了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.
(三)解答题:
6、(07上海19)已知函数,常数.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.
解:(1)当时,,
对任意,, 为偶函数.
当时,,
取,得 ,
,
函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设,
,
要使函数在上为增函数,必须恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范围是.
解法二:当时,,显然在为增函数.
当时,反比例函数在为增函数,
在为增函数.
当时,同解法一.
7、(06湖南20)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
解: (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与,类似(I)得
,(*)
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
将代入(*)式得
故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为
, 最少总用水量是.
当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
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