4.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.

3.设ξ是随机变量,a、b是非零常数,则下列等式中正确的是　　　　 (　 )

A.D(aξ+b)=a²Dξ+b　　　 B.E(aξ)=a²Eξ

C.D(aξ)=a²Dξ　　　　　 D.E(aξ+b)=aξ

[填空题]

4.二项分布的期望与方差：若ξ-B(n，p)，则Eξ=np，Dξ=np(1－p).

同步练习 　　10.9离散型随机变量的期望与方差　　

[选择题]

1.下面说法中正确的是　　　　 (　)

A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。

B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。

C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。

2.是x₁，x₂，…，x₁₀₀的平均数，a是x₁，x₂，…，x₄₀的平均数，b是x₄₁，x₄₂，…，x₁₀₀的平均数，则下列各式正确的是　 (　 )

A.=　　　 B.=　 C.=a+b　　 D=

3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：

2.求期望与方差.首先应先求出分布列，再代公式求期望与方差.

1.离散型随机变量的期望和方差的意义.

[例1] (1)一枚骰子的六个面上标有1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上面的点数为ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。

(2) 若随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= 　(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。

(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。

解：(1)Eξ=x₁P₁+x₂P₂+x₃P₃+…+x₆P₆=1×+2×+3×+…+6×=3.5

E(2ξ+3)=2Eξ+3=10

Dξ=(x₁-Eξ)²P₁+(x₂-Eξ)²P₂+…+(x₆-Eξ)²P₆

=[(1-3.5)²+(2-3.5)²+…(6-3.5)²]=17.5×=2.92

(2) Eξ=(1+2+…+n)=

Dξ=Eξ²-(Eξ)²=(n²-1)

(3)设ξ为该生选对试题个数，η为成绩。则ξ-B(50，0.7)，η=3ξ

∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5

故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105

Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5

[例2](2006年安徽)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，

(Ⅰ)写出ξ的分布列；(以列表的形式给出结论，不必写计算过程).

(Ⅱ)求ξ的数学期望Eξ.(要求写出计算过程或说明道理).

解：(I)ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(II)由ξ的定义得

.

[例3](2006山东)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率。

解：(I)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为, 所以.

(II)由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

	2	3	4	5

因此的数学期望为

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

[例4](2006全国Ⅱ)某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品给用户拒绝购买的概率。

解：(I)ξ可能的取值为0，1，2，3.

，

，

，

.

ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3

数学期望为Eξ=1.2.

(II)所求的概率为

[研讨.欣赏](2006辽宁)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ₁、ξ₂分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)求ξ₁、ξ₂的概率分布和数学期望Eξ₁、Eξ₂;

(II)当Eξ₁<Eξ₂时,求的取值范围.

解(I)法一：ξ₁的概率分布为

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

由题设的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布为

ξ	0	1	2
P

故ξ₂的概率分布为

ξ2	1.3	1.25	0.2
P

所以ξ₂的数学期望为

解法二：ξ₁的概率分布为

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

设表示事件“第 i 次调整，价格下降”(i=1,2)，则

故ξ₂的概率分布为

所以ξ₂的数学

(II)解：由，得，

　 整理得，

　 解得。

　　 因为，所以，当时，得取值范围是。

6.包装的重量的平均水平一样,甲机包装重量的差别大，不稳定,答案：乙

4.;　　 5.

得,∴ .

3. P(ξ=0)=0.4³，P(ξ=1)=0.6×0.4²，P(ξ=2)=0.6×0.4，P(ξ=3)=0.6，Eξ=2.376;