1、以下说法中正确的是( )
A、通电导线在某处所受磁场力为零,那么该处的磁感应强度必定为零
B、 若长为L、电流为I的导线在某处受到的磁场力为F,则该处的磁感应强度必为B=F/IL
C、如果将一段短通电导线放入某处,测得该处的磁感应强度为B,若撤去该导线,该处的磁感应强度为零
D、以上说法均不正确
10. 在△ABC中,sinA=,判断这个三角形的形状.
分析:判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”.
解:应用正弦定理、余弦定理,可得
a=,所以
,
化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
评述:恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.
[探索题]已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+.
(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.
(2)求y的最小值.
解:(1)∵y=cotA+
=cot A+
=cot A+
=cotA+cotB+cotC,
∴任意交换两个角的位置,y的值不变化.
(2)∵cos(B-C)≤1,
∴y≥cotA+=+2tan=(cot+3tan)≥=.
故当A=B=C=时,ymin=.
评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC中,求证:cotA+cotB+cotC≥.
可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC来证.
9. (2004全国Ⅱ)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tanA=2tanB;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).
(1)证明:∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:<A+B<π,∴sin(A+B)=.
∴tan(A+B)=-,
即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+,所以AB边上的高为2+.
评述:本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.
8.(2005春北京)在△ABC中,sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
解法一:∵sinA+cosA=cos(A-45°)=,
∴cos(A-45°)=.
又0°<A<180°,
∴A-45°=60°,A=105°.
∴tanA=tan(45°+60°)==-2-.
∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)
=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.
∴S△ABC=AC·ABsinA
=·2·3·
=(+).
解法二:∵sinA+cosA=, ①
∴(sinA+cosA)2=.∴2sinAcosA=-.
∵0°<A<180°,∴sinA>0,cosA<0.
∴90°<A<180°.
∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=,
∴sinA-cosA=. ②
①+②得sinA=.
①-②得cosA=.
∴tanA==·=-2-.
(以下同解法一)
7.(2004春北京)在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值.
剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a,再用正弦定理可求的值.
解法一:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.
又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,由余弦定理得
cosA===,∴∠A=60°.
在△ABC中,由正弦定理得sinB=,
∵b2=ac,∠A=60°,
∴=sin60°=.
解法二:在△ABC中,
由面积公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.
5.2; 6.若c最大,由cosC>0.得c<.又c>b-a=1,∴1<c<.
[解答题]
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,A、B、C都为锐角.答案:C
2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.由S=acsin30°=ac=,得ac=6.∴a2+c2=4b2-12.得cosB====,解得b=1+.答案:B
6.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是_______.
练习简答:1-4.BBCB; 1.在△ABC中,A>30°0<sinA<1sinA>;sinA>30°<A<150°A>30°答案:B
5.(2004春上海)在中,分别是、、所对的边。若,,, 则__________
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