4．飞机拐弯

飞机在空中拐弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供拐弯所需要的向心力。当拐弯速度比较大时，飞机的机翼倾斜角度增大，从而使重力与升力的合力增大。当拐弯速度比较小时，飞机的机翼倾斜角度减小，从而使重力与升力的合力减小。

3．汽车转弯

在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力，是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的，即，因为静摩擦力f最大不能超过最大摩擦力，故要求车子转弯时，车速不能太大和转弯半径不能太小。

思考　 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低是什么原因？

例2 　在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的高一些.路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　　　 )

A．arcsin 　　　　　　 　B．arctan　　 　C．arcsin　　 　　　 D．arccot

思路 　汽车在水平面内做圆周运动，如果路面是水平的，汽车做圆周运动的向心力只能由静摩擦力提供，如果外侧路面高于内侧路面一个适当的高度，也就是路面向内侧倾斜一个适当的角度θ，地面对车支持力的水平分量恰好提供车所需要的向心力时，车轮与路面的横向摩擦力正好等于零。在此临界情况下对车受力分析，明确汽车所受合外力的方向：水平指向圆心，然后由牛顿第二定律列方程求解。答案：B

2．汽车过桥

⑴ 汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力

汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力F_N提供向心力。如图4所示。

G－F_N=m

所以F_N=G－

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。

思考　 汽车的速度不断增大时，会发生什么现象？

由上面表达式F_N=G－可以看出，v越大，F_N越小。当F_N=0时，由G=m可得v=。若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面。我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。

⑵ 汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力

如图5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：F_N－G=m，所以F_N=G+m

由牛顿第三定律知，车对桥的压力F_N′=G+m，大于车的重力，而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大。

思考　 汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图6所示，它的运动能用上面的方法求解吗？

分析　 可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化。如图6，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力。设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有

mgcosθ－F_N=m

所以F_N=mgcosθ－m

桥面支持力与夹角θ、车速v都有关。

例1　 一辆汽车匀速率通过半径为R的圆弧拱形路面，关于汽车的受力情况，下列说法正确的是(　　 )

A．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力

B．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车所受重力

C．汽车的牵引力不发生变化

D．汽车的牵引力逐渐变小

解析 　汽车受重力mg、路面对汽车的支持力F_N、路面对汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力)，如图所示。设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角为θ

汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以

F－mgsinθ=0，则F=mgsinθ

汽车在到达最高点之前，θ角不断减小，由上式可见，汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中，不需要牵引力，反而需要制动力，所以C选项不正确，D选项正确。

在沿着半径的方向上，汽车有向心加速度，由牛顿第二定律：

mgcosθ－F_N=，则 F_N=mgcosθ－。

可见，路面对汽车的支持力F_N随θ的减小而增大，当到达顶端时θ=0，F_N=mg－达到最大，F_N＜mg，所以A选项不正确，B选项正确。答案：BD

点评　 从解题过程看，首先，应当明确汽车的运动是匀速圆周运动，时时刻刻汽车都在做变加速运动，任何一个时刻或一个位置汽车所处的状态都不是平衡状态；其二，应当明确汽车的速率大小不变，汽车在沿轨迹切线的方向上所受合力始终为零。也就是说：明确汽车的运动情况，抓住“切向平衡”“法向有向心加速度”是解决这类问题的关键。

1．火车转弯

⑴ 火车车轮的结构特点

火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹。(如图1所示)

⑵ 如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图2，但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

⑶ 如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力F_N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力F_N的合力来提供(如图3)。

设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v₀，由图3所示力的合成得向心力为

F_合=mgtanα≈mgsinα=mg

由牛顿第二定律得：F_合=m　 所以mg=m

即火车转弯的规定速度v₀=。

⑷ 对火车转弯时速度与向心力的讨论

a．当火车以规定速度v₀转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。

b．当火车转弯速度v>v₀时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。

c．当火车转弯速度v<v₀时，该合力F大于向心力，内轨向外侧挤压轮缘，产生的侧压力与该合力F共同充当向心力。

4．从数量关系上，当从外界提供的向心力与物体在某轨道上做圆周运动所需要的向心力满足什么关系时，物体做圆周运动？

[同步导学]

3．向心力产生的加速度也总是指向　　　　 ，叫　　　　 ，公式：a =　　　 =　 　　=。

2．向心力总是指向圆心，而线速度沿圆的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体线速度的　　　 而不改变线速度的　　　 。

1．做匀速圆周运动的物体所受的合外力总是指向　　　　 ，所以叫　　　 ，它是根据力的______　　　　　　 来命名的，向心力公式：　　　　　　　　　　　　 。

21．一列火车总质量M=500 t，机车发动机的额定功率P=6×10⁵ W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F_f是车重的0.01倍，求：

　 (1)火车在水平轨道上行驶的最大速度；

　 (2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v₁=1 m/s和v₂=10 m/s时，列车的瞬时加速度a₁、a₂各是多少；

　 (3)在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；

　 (4)若火车从静止开始，保持0.5m/s²的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。

20.在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F1推这一物体，作用一段时问后，换成相反方向的水平恒力F2推这一物体，当恒力F2作用时间与恒力F1作用时间相同时，物体恰好同到原处，此时物体的动能为24J，求在整个过程中，恒力F1做的功和恒力F2做的功.