8．真子集：如果　　　　　 就说集合A是集合B的真子集，记作　　　　　 ．

7．相等：若集合A中　　　　　 都是集合B的元素，同时集合B中　　　　　 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作　　　　　 ．

6．子集：若集合A中　　　　　 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)，记作　　　　　 ．

5．集合与集合的关系用符号　　　　　 表示．

4．元素与集合是属于和　　　　　 的从属关系，若a是集合A的元素，记作　　　　　 ，若a不是集合B的元素，记作　　　　　 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．

3．集合的表示法常用的有　　　　　 、　　　　　 和韦恩图法三种，有限集常用　　　　　 ，无限集常用　　　　　 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．

2．集合中的元素属性具有：

(1) 确定性；　 (2)　　　　　 ； (3)　　　　　 ．

1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象　　　　 就成为一个集合，简称　　　 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的　　　　 ．

3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上　　 有最大值与最小值；但在开区间内　　　 有最大值与最小值．

(2) 求最值可分两步进行：

① 求y＝在(a ,b )内的　　　　 值；

② 将y＝的各　　　　 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的　　　　 ，为函数的　　　　 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的　　　　 ，为函数的　　　　 .

例1. 已知f(x)=e^x-ax-1.　

(1)求f(x)的单调增区间；　

(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；　

(3)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：=e^x-a.　

(1)若a≤0，=e^x-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.　

若a>0,e^x-a≥0,∴e^x≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).　

(2)∵f(x)在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.　

∴e^x-a≥0，即a≤e^x在R上恒成立.　

∴a≤(e^x)_min，又∵e^x>0，∴a≤0.　

(3)方法一　 由题意知e^x-a≤0在(-∞，0］上恒成立.　

∴a≥e^x在(-∞，0］上恒成立.∵e^x在(-∞，0］上为增函数.　

∴x=0时，e^x最大为1.∴a≥1.同理可知e^x-a≥0在［0，+∞)上恒成立.　

∴a≤e^x在［0，+∞)上恒成立.∴a≤1，∴a=1.　

方法二　 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e⁰-a=0,∴a=1.

变式训练1. 已知函数f(x)=x³-ax-1.　

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；　

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；　

(3)证明：f(x)=x³-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.　

(1)解　 由已知=3x²-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，　

∴=3x²-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立，即a≤3x²对x∈R恒成立.　

∵3x²≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x²≥0,　

故f(x)=x³-1在R上是增函数，则a≤0.　

(2)解　 由=3x²-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x²,x∈(-1,1)恒成立.　

∵-1<x<1,∴3x²<3,∴只需a≥3.当a=3时，=3(x²-1),　

在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在(-1，1)上为减函数，∴a≥3.　

故存在实数a≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.　

(3)证明　 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.

例2. 已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x)有极值.

(1)求a,b,c的值；　

(2)求y=f(x)在［-3，1］上的最大值和最小值.

解　 (1)由f(x)=x³+ax²+bx+c,得=3x²+2ax+b,　

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0　　　　　 　　　　　　　　　　　①　

当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0　　　　　　　　　　 ②　

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.　

∴1+a+b+c=4.∴c=5.　

(2)由(1)可得f(x)=x³+2x²-4x+5,∴=3x²+4x-4,　

令=0,得x=-2,x=.　

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x	-3	(-3,-2)	-2				1
y′		+	0	-	0	+
y	8	单调递增 ↗	13	单调递减 ↘		单调递增 ↗	4

　∴y=f(x)在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

变式训练2. 函数y=x⁴-2x²+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

解　 先求导数,得y′=4x³-4x,令y′=0,即4x³-4x=0.解得x₁=-1,x₂=0,x₃=1.　

导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:　

从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.

例3. 已知函数f(x)=x²e^-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

　 解　 ∵f(x)=x²e^-ax(a＞0),∴=2xe^-ax+x²·(-a)e^-ax=e^-ax(-ax²+2x).　

令>0,即e^-ax(-ax²+2x)>0,得0<x<.　

∴f(x)在(-∞,0),上是减函数，在上是增函数.　

①当0<<1,即a>2时,f(x)在(1，2)上是减函数,　

∴f(x)_max=f(1)=e^-a.　

②当1≤≤2,即1≤a≤2时，　

f(x)在上是增函数，在上是减函数，　

∴f(x)_max=f=4a^-2e^-2.　　

③当>2时，即0<a<1时，f(x)在(1，2)上是增函数，　

∴f(x)_max=f(2)=4e^-2a.　

综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e^-2a,　

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a^-2e^-2,　

当a>2时，f(x)的最大值为e^-a.　

变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)²(x∈R),其中a∈R.　

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.　

解：(1)当a=1时，f(x)=-x(x-1)²=-x³+2x²-x,　

f(2)=-2,=-3x²+4x-1,　

-12+8-1=-5,　

∴当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为　

5x+y-8=0.　

(2)f(x)=-x(x-a)²=-x³+2ax²-a²x,　

=-3x²+4ax-a²=-(3x-a)(x-a),　

令=0,解得x=或x=a.　

由于a≠0，以下分两种情况讨论.　

①若a>0，当x变化时，的正负如下表：　

x	(-∞,)		(,a)	a	(a,+∞)
	-	0	+	0	-
f(x)	­↘		↗	0	↘

因此，函数f(x)在x=处取得极小值f()，　

且f()=-　

函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.　

②若a<0，当x变化时，的正负如下表：　

x	(-∞,a)	a	(a,)		(,+∞)
	-	0	+	0	-
f(x)	↘­­­­	0	↗	-	↘

因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；　

函数f(x)在x=处取得极大值f(),　

且f()=-.

例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)²万件.　(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；　

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).

解　 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.　

(2) =(12-x)²-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).　

令=0得x=6+a或x=12(不合题意，舍去).　

∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.　

在x=6+a两侧L′的值由正变负.　

所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，L_max=L(9)=(9-3-a)(12-9)²=9(6-a).　

②当9≤6+a≤，即≤a≤5时，　

L_max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］²=4(3-a)³.　

所以

答　 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).

变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x²-10x³(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润=产值-成本)　

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？　

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x³+45x²+3 240x-5 000(x∈N^*，且1≤x≤20);　

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19).　

(2)=-30x²+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),　

∵x>0,∴=0时,x=12，　

∴当0<x<12时，>0,当x>12时，<0,　

∴x=12时，P(x)有最大值.　

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.　

(3)MP(x)=-30x²+60x+3 275=-30(x-1)²+3 305.　

所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，　

所以单调减区间为［1，19］，且x∈N^*.　

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.

研究可导函数的单调性、极值(最值)时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围．

2．可导函数的极值

⑴ 极值的概念

设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有　　　　 (或　　　　 )，则称为函数的一个极大(小)值．称为极大(小)值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤：

① 求导数；

② 求方程＝0的　　　　 ；

③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得　　　　 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得　　　 　.