3．(2009全国卷II)下面文字中画线部分的词语，有的使用不当，请指出并改正，使这段文字语言简明，衔接自然，语意连贯。

苏泽广真是哭笑不得, 苏泽广①觉得儿子合图还不懂事,把家托付给他②是徒劳的,便失望地起身。然而他刚要离开,他③突然跳下椅子,合图④吹灭桌前的蜡烛,“扑通”一声跪在地上,抱住他⑤的腿,在黑暗中说:“爸爸,你放心吧,你⑥要是不回来,我⑦管这个家！

答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[答案]①删除或改为“他”；③改为“合图”；④删除或改为“他”；⑤改为“苏泽广”或“父亲”。

[解析]①删除或改为“他”避免语意重复，达到简洁要求；③改为“合图”使指代明确；⑤改为“苏泽广”或“父亲” 使指代明确；使前后文衔接、连贯。

[考点定位]本题重点考查考生语言表达简明、衔接、连贯的能力，同时与病句修改结合起来。因此，要在语句通畅的基础上，力求连贯得体。

2．(2009全国卷I)下面是“沈阳全民读书月”活动的标识，请从构形角度说明标识的创意，要求语意简明，句子通顺，不超过65个字。

答： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[答案]示例：该标识以“书”和“沈阳”的首写拼音字母为设计元素，体现活动的主题与地狱；翻开的书和两书交汇处的眼睛，对“开卷有益”作出微妙表达。

[解析]解答时要扣住主题“沈阳全民读书月”，要特别突出“沈阳”和“读书”两个词语的图形构成，同时结合题干要求“从构形角度说明标识的创意”，进行整合，语言要求流畅、富有文采。注意字数要求。

[考点定位]本体为图文转换试题，既考查考生语言表达简明、连贯、得体的能力。

1．(2009全国卷I)下面文字中画线的部分的词语，有的使用不当，请指出并改正，使修改后的这段文字衔接自然，语意连贯，逻辑严密。

　 三仙姑对女儿小芹一直管得很严。小芹①后，跟小二黑②好上了，三仙姑说什么也不同意。她③道后，就一个人悄悄跑到前庄上去找小二黑④恰巧小二黑这时也正要找她，于是两个人就商量对付她⑤的办法。她⑥把小芹娘⑦的事从关至尾向小二黑细说了一遍。

答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

[答案]③改为“小芹”；⑤改为“三仙姑”⑥ 改为“小芹”；⑦ 改为“她”。

[解析]本题重点考查考生语言表达衔接、连贯的能力，③⑤⑥用“她”指代不明，⑦用“小芹”则会造成叠床架屋，语意重复。

[考点定位]本题重点考查病句修改能力及语言表达衔接、连贯的能力。

18.(2010湖南文数)(本小题满分12分)

如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点

(Ⅰ)求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；

(Ⅱ)证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M₁

(2010浙江理数)(20)(本题满分15分)如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.

(Ⅰ)求二面角的余弦值；

(Ⅱ)点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

(Ⅰ)解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,

又因为平面平面.

如图建立空间直角坐标系A-xyz

则(2，2，)，C(10，8，0)，

F(4，0，0)，D(10，0，0).　 　

故=(-2，2，2)，=(6，0，0).

设=(x,y,z)为平面的一个法向量，

　　　 -2x+2y+2z=0

所以

　　　 6x=0.

取，则。

又平面的一个法向量，

故。

所以二面角的余弦值为

(Ⅱ)解：设则，

　　 因为翻折后，与重合，所以，

　　 故， ，得，

　　 经检验，此时点在线段上，

所以。

方法二：

(Ⅰ)解：取线段的中点,的中点,连结。

　　　 因为=及是的中点，

所以

又因为平面平面，

所以平面,

又平面,

故，

又因为、是、的中点，

易知∥，

所以，

于是面，

所以为二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.

故二面角的余弦值为。

(Ⅱ)解：设,

　　　　 因为翻折后，与重合，

所以，

　　　　　 而，

　

得，

经检验，此时点在线段上，

所以。

(2010全国卷2理数)(19)如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

(Ⅰ)证明：为异面直线与的公垂线；

(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

[命题意图]本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.

20.(2010上海文数)(本大题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该

最大值(结果精确到0.01平方米);

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出

用于灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).

解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)²+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．

21.(2010江苏卷)[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

E． 选修4-1：几何证明选讲

(本小题满分10分)

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

(方法一)证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30⁰，∠DOC=60⁰，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

(方法二)证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90⁰，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90⁰。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

F． 选修4-2：矩阵与变换

(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

解：由题设得

由，可知A₁(0，0)、B₁(0，-2)、C₁(，-2)。

计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是，则由题设知：。

所以k的值为2或-2。

G．选修4-4：坐标系与参数方程

(本小题满分10分)

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，

又圆与直线相切，所以解得：，或。

H． 选修4-5：不等式选讲

(本小题满分10分)

设a、b是非负实数，求证：。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。

(方法一)证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

(方法二)证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21.(2010江苏卷)[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A． 选修4-1：几何证明选讲

(本小题满分10分)

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

(方法一)证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30⁰，∠DOC=60⁰，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

(方法二)证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90⁰，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90⁰。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换

(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

解：由题设得

由，可知A₁(0，0)、B₁(0，-2)、C₁(，-2)。

计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是，则由题设知：。

所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程

(本小题满分10分)

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，

又圆与直线相切，所以解得：，或。

D．选修4-5：不等式选讲

(本小题满分10分)

设a、b是非负实数，求证：。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。

(方法一)证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

(方法二)证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2010年高考数学试题分类汇编--新课标选考内容

(2010辽宁理数)(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

(I)证明：

(II)若的面积，求的大小。

证明：

(Ⅰ)由已知条件，可得

因为是同弧上的圆周角，所以

故△ABE∽△ADC.　　　　　　　　 ……5分

(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.

则sin=1，又为三角形内角，所以=90°.　　　　　 ……10分

(2010辽宁理数)(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

　　　　　　　　　

已知P为半圆C：　　　　　　　 (为参数，)上的点，点A的坐标为(1,0)，

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。

(I)以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

(II)求直线AM的参数方程。

解：

(Ⅰ)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，

故点M的极坐标为(，).　　　　　　　 ……5分

(Ⅱ)M点的直角坐标为()，A(0,1)，故直线AM的参数方程为

(t为参数)　　　　　　　 ……10分

(2010辽宁理数)(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

证明：(证法一)

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

　　　　　　 　　　　①

所以　　　　　　　　　 ②　　　　　　　　　　 ……6分

故.

又　　　 ③

所以原不等式成立.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　……8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。　　　　　　　 ……10分

(证法二)

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以　　　　　 　　①

同理　　　　　　 ②　　　　　　　　　　 ……6分

故

　　　　 ③

所以原不等式成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。　　　　　　　 ……10分

21．(2010福建理数)本题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=，，且，

(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为(t为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为。

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|。

(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

已知函数。_K^S*5U.C#O%

(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

(1)选修4-2：矩阵与变换

[命题意图]本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。_K^S*5U.C#O%

[解析](Ⅰ)由题设得，解得；

(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线上的两(0，0)，(1，3)，

由，得：点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0，0)，(-2，2)，从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。

(2)选修4-4：坐标系与参数方程

[命题意图]本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

[解析](Ⅰ)由得即

(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|==。

(3)选修4-5：不等式选讲

[命题意图]本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

[解析](Ⅰ)由得，解得，

又已知不等式的解集为，所以，解得。

(Ⅱ)当时，，设，于是

=，所以

当时，；当时，；当时，。

20.(2010湖南文数)(本小题满分13分)

给出下面的数表序列：

其中表n(n=1,2,3 )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

(I)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)；

　(II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为

　求和：

(2010全国卷2理数)(18)(本小题满分12分)

已知数列的前项和．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)证明：．

[命题意图]本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

21.(2010上海文数)(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

解析：(1) 当n=1时，a₁=-14；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，所以， 又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由S_n+1>S_n，得，，最小正整数n=15．