5.(2009·浙江高考)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________cm3.
解析:由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm,高为1 cm的长方体构成,故其体积为2(3×3×1)=18(cm3).
答案:18
题组三 |
旋转体的表面积、体积 |
4.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是 ( )
A.96 B.16 C.24 D.48
解析:由πR3=,∴R=2.∴正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则·a=2,∴a=4.
∴V=(4)2·4=48.
答案:D
3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是 ( )
A.6 B.3 C.11 D.12
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有
ab=2,bc=6,ac=9,∴V===6.
答案:A
2.(2010·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是 ( )
A.4+ B.2+ C.3+ D.6
解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱.S表=S侧+
2S底=(1+1+)×1+2××1×1=3+.
答案:C
题组二 |
多面体的体积 |
1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是 ( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析:设正三棱锥的侧棱长为b,则由条件知b2=a2,
∴S表=a2+3××a2=a2.
答案:A
9.(2010·大连模拟)如图所示,三棱锥P-ABC中,
PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,
E是PC的中点.
(1)(文)求证AE与PB是异面直线.
(理)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;
(2)求三棱锥A-EBC的体积.
解:(1)(文)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,
∵A∈α,B∈α,E∈α,
∴平面α即为平面ABE,
∴P∈平面ABE,
这与P∉平面ABE矛盾,
所以AE与PB是异面直线.
(理)取BC的中点F,连结EF、AF,则EF∥PB,
所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
∴AF=,AE=,EF=;
cos∠AEF==,
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.
(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为PA=1,
VA-EBC=VE-ABC=×(×2×2×)×1=.
8.(2010·淄博模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为 ( )
解析:到定点B的距离等于到直线A1B1的距离,所以动点P的轨迹是以B为焦点,以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.
答案:C
7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,
AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中
点.求异面直线A1E与GF所成角的大小.
解:连结B1G,EG,
由于E、G分别是DD1和CC1的中点,
∴EG綊C1D1,而C1D1綊A1B1,
∴EG綊A1B1,
∴四边形EGB1A1是平行四边形.
∴A1E∥B1G,从而∠B1GF为异面直线所成角,
连结B1F,则FG=,B1G=,B1F=,
由FG2+B1G2=B1F2,
∴∠B1GF=90°,
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
题组三 |
综合问题 |
6.(文)如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则以下结论中不成立的是 ( )
A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面
解析:设AB的中点为E1,BC的中点为F1,
则EF∥E1F1,
而E1F1⊥BD,E1F1⊥BB1
∴EF⊥BB1,EF⊥BD,
∴A、B项正确.
又由EF∥E1F1知EF∥平面ABCD
∴EF与CD异面,C项正确.
∴易知EF∥A1C1,D项错误.
答案:D
(理)(2010·南昌模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1
中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1
与BD所成的角为________.
解析:取A1C1的中点D1,连结B1D1,
由于D是AC的中点,∴B1D1∥BD,
∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.
连结AD1,设AB=a,则AA1=a,
∴AB1=a,B1D1=a,AD1= =a.
∴cos∠AB1D1==,
∴∠AB1D1=60°.
答案:60°
5.(2010·沈阳模拟)正方体AC1中,E、F分别是线段BC、C1D的中点,则直线A1B与
直线EF的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
解析:如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
答案:A
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