教学环节	教学内容	师生互动	设计意图
提出问题	1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x?R. 都有f (x) ≥f (0). 因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值. 2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时， f (0)是函数值中的最大值.	师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征； 师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.	应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念	函数最大值概念： 一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足： (1)对于任意x都有f (x) ≤M. (2)存在x0?I，使得f (x0) = M. 那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.	师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即 f (x0)≤ f (x)意味着什么？ 生：f (x0)为函数的最大值，必须满足： ①x0?定义域； ②f (x0) ?值域； ③f (x0)是整个定义域上函数值最大的.	由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念	函数最小值概念. 一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： (1)对于任意x?I，都有f (x)≥M. (2)存在x0?I，使得f (x0) = M. 那么，称M是函数y = f (x)的最小值.	师：怎样理解最大值. 生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性. 师：函数最小值怎样定义？ 师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.	由最大值定义类比最小值定义.
应用举例	例1　 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)？ 训练题1： 已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值. 例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值. 训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个　　 . 训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固　　 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？	师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程. 例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有： 当t ==1.5时，函数有最大值 h =≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. 师：投影训练题1、2. 生：学生相互讨论合作交流完成. 训练题1解：∵对称轴x = 1， (1)当1≥t +2即t≤–1时， f (x)max­ = f (t) = t 2 –2t –3， f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. (2)当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时， f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3， f (x)min= f (1) = – 4. (3)当t≤1＜，即0＜t≤1， f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3， f (x)min = f (1) = – 4. (4)当1＜t，即t＞1时， f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3， f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3. 设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有 g (t) = 例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f (x1) – f (x2) = = =. 　由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0， 于是　　 f (x1) – f (x2)＞0， 即　　 f (x1)＞f (x2). 所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数.　 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4. 训练题2答案：最小值. 训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决. 解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为： y = b·+ ax2·. ∴y = s (a x +) . (其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性. 设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则 f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)] = s[a (x1– x2) +] = = ∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0 ∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)， 当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2). 综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间(0，+∞)上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶.	自学与指导相结合，提高学生的学习能力. 讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养 　 　 　 　 　 　 　 　 进一步固化求最值的方法及步骤. 　 　 　 　 　 　 (1)以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现. (2)对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结	1．最值的概念 2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.	师生交流合作总结、归纳.	培养学生的概括能力
课后作业	1.3第二课时　 习案	学生独立完成	能力培养

备选例题

例1　 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).

(Ⅰ)当a =时，求函数f (x)的最小值；

(Ⅱ)若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

分析：对于(1)，将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于(2)，运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x² + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.

解：(1)当a =时，f (x) = x ++2

因为f (x)在区间[1，+∞)上为增函数，

所以f (x)在区间[1，+∞)上的最小值为f (1) =.

(2)解法一：在区间[1，+∞)上，f (x) =恒成立x² + 2x + a＞0恒成立.

设y = x² +2x+a，∵(x + 1) ² + a –1在[1，+∞)上递增.

∴当x =1时，y_min =3 + a，于是当且仅且y_min =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，

∴a＞–3.

　解法二：f (x) = x ++2　 x[1，+∞).

当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)_min = 3+a.

于是当且仅当f (x)_min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立.　 故a＞–3.

例2　 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.

(1)求证f (x)是R上的减函数；

(2)求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.

分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.

证明：(1)令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得：　 f (–x) = – f (x)，

在R上任取x₁＞x₂，则f (x₁) – f (x₂) = f (x₁) + f (– x₂) = f (x₁–x₂).

∵x₁＞x₂，∴x₁–x₂＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x₁–x₂)＜0，　 即f (x₁) – f (x₂)＞0.

由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.

(2)∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.

f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2.　 ∴f (–3) = – f (3) =2.

即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.

合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.

重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.

3．情感、态度与价值观

在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.

2．过程与方法

借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.

1．知识与技能

(1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.

(2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.

教学 环节	教学内容	师生互动	设计意图
提出 问题	观察一次函数f (x) = x的图象： 函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.	师：引导学生观察图象的升降. 生：看图. 并说出自己对图象　　　　　　 的直观认识. 师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.	在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入深题	观察二次函数f (x) = x2 的图象： 函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 列表： x … – 4 –3 –2 –1 0 f (x) =x2 　 16 9 4 1 0 1 2 3 4 … 1 4 9 16 … x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降. x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升.	师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映. 生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大. 师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.	体会同一函数在不同区间上的变化差异. 引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念	函数单调性的概念 一般地，设函数f (x)的定义域为I： 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数(increasing function)； 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数(decreasing function).	师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？ 师生合作： 对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22. 师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.	由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用 举例	例1　 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 训练题1： (1)请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系. (2)整个上午(8∶00-12∶00)天气越来越暖，中午时分(12∶00-13∶00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18∶00)才又开始转凉. 画出这一天8∶00-20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. (3)根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例2　 物理学中的玻意耳定律(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.	师：投影例1. 生：合作交流完成例1. 师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1 生：学生通过合作交流自主完成. 例1[解]：y= f (x)的单调区间有[–5，–2)，[–2，1)，[1，3)，[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2)，[1，3)上是减函数，在区间[–2，1)，[3，5]上是增函数. 训练题1 答案：(1)在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高. (2) 增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. (3)函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明(判定)并总结证明单调性的基本步骤. 生：学生代表板书证明过程，教师点评. 例2 分析：按题意，只要证明函数在区间(0，+∞)上是减函数即可. 证明：根据单调性的定义，设V­1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，即 . 由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0. 由V1＜V2，得V2 – V1＞0. 又k＞0，于是 p (V1) – p (V2)＞0， 即 　p (V1) ＞p (V2). 所以，函数，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大. 师：投影训练题2 生：自主完成 训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2， 因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0， 即f (x1)＞f (x2)， 所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.	掌握利用图象划分函数单调区间的方法. 掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 强化记题步骤与格式.
归纳 小结	1°体会函数单调性概念的形成过程. 2°单调性定义. 3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.	师生合作：回顾单调性概念的形式与发展. 师：阐述单调性的意义与作用.	反思回顾 　整理知识，提升能力.
课后 练习	1.3第一课时　 习案	学生独立完成	巩固知识 培养能力

备选例题：

例1　 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.

[证明]设任意x₁、x₂?R，且x₁＜x₂，

则f (x₁) – f (x₂) = (3x₁ +2) – (3x₂ +2) = 3(x₁–x₂).

由x₁＜x₂得x₁ –x₂＜0.　 ∴f (x₁) – f (x₂)＜0，即f (x₁)＜f (x₂).

∴f (x) =3x +2在R上是增函数.

例2　 证明函数f (x) =在(0，+∞)上是减函数.

[证明]设任意x₁、x₂?(0，+ ∞)且x₁＜x₂，

则f (x₁) – f (x₂) =，

由x₁，x₂?(0，+∞)得，x₁x₂＞0，又x₁＜x₂，得x₂ – x₁＞0，

∴f (x₁) – f (x₂) ＞0，即f (x₁)＜f (x_­2).

∴f (x) =在(0，+∞)上是减函数.

讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.

重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.

3．情感、态度与价格观

在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.