3.应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量,通过平移,使起点重合.
2.注意·
与ab的区别.
·
=0≠>
=
,或
=
.
1.运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题.因此充分挖掘题目所包含的几何意义,往往能得出巧妙的解法.
5.向量数量积的运算律:
⑴ ·
= ;
⑵ (λ)·
= =
·(λ
)
⑶ (+
)·
=
|
例1. 已知||=4,|
|=5,且
与
的夹角为60°,求:(2
+3
)·(3
-2
).
解:(2+3
)(3
-2
)=-4
变式训练1.已知||=3,|
|=4,|
+
|=5,求|2
-3
|的值.
解:
例2. 已知向量=(sin
,1),
=(1,cos
),-
.
(1) 若a⊥b,求;
(2) 求|+
|的最大值.
解:(1)若,则
即 而
,所以
(2)
当时,
的最大值为
变式训练2:已知,
,其中
.
(1)求证:
与
互相垂直;
(2)若
与
的长度相等,求
的值(
为非零的常数).
证明:
与
互相垂直
(2),
,
,
,
而
,
例3. 已知O是△ABC所在平面内一点,且满足(-
)·(
+
-2
)=0,判断△ABC是哪类三角形.
解:设BC的中点为D,则()(
)=0
2
·
=0
BC⊥AD
△ABC是等腰三角形.
变式训练3:若,则△ABC的形状是
.
解: 直角三角形.提示:
例4. 已知向量=(cosθ, sinθ)和
=(
-sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|
|=
,求cos(
)的值.
解:=(cosθ-sinθ+
, cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+
)2+(cosθ+sinθ)2=
化简:cos
又cos2
∵θ∈(π,
2π) ∴cos<0
∴cos=-
变式训练4.平面向量,若存在不同时为
的实数
和
,使
,
且
,试求函数关系式
.
解:由得
|
4.向量数量积的性质:设、
都是非零向量,
是单位向量,θ是
与
的夹角.
⑴ ·
=
·
=
⑵ ⊥
⑶ 当与
同向时,
·
= ;当
与
反向时,
·
= .
⑷ cosθ= .
⑸ |·
|≤
3.向量的数量积的几何意义:
||cosθ叫做向量
在
方向上的投影 (θ是向量
与
的夹角).
·
的几何意义是,数量
·
等于
.
2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量与
,它们的夹角为θ,则数量
叫做
与
的数量积(或内积),记作
·
,即
·
=
.规定零向量与任一向量的数量积为0.若
=(x1, y1),
=(x2, y2),则
·
=
.
1.两个向量的夹角:已知两个非零向量和
,过O点作
=
,
=
,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量
与
的 .当θ=0°时,
与
;当θ=180°时,
与
;如果
与
的夹角是90°,我们说
与
垂直,记作
.
2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.
第3课时 平面向量的数量积
|
1.认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化.
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