0  374930  374938  374944  374948  374954  374956  374960  374966  374968  374974  374980  374984  374986  374990  374996  374998  375004  375008  375010  375014  375016  375020  375022  375024  375025  375026  375028  375029  375030  375032  375034  375038  375040  375044  375046  375050  375056  375058  375064  375068  375070  375074  375080  375086  375088  375094  375098  375100  375106  375110  375116  375124  447090 

1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般是利用aba·b=0进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.

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6.空间向量的数量积

(1) 空间向量的夹角:       

(2) 空间向量的长度或模:       

(3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量ab,则a·b         

空间向量的数量积的常用结论:

(a) cos〈ab〉=     

(b) ïaï2       

(c) ab          

(4) 空间向量的数量积的运算律:

(a) 交换律a·b          ; 

(b) 分配律a·(b+c)=         

典型例题
 
 

例1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若,求xy的值.

解:易求得

变式训练1. 在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若abc,则下列向量中与相等的向量是               (  )

A.-a+b+c     B.a+b+c

C.a-b+c       D.-a-b+c

解:A

例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,

求证:AB1∥平面C1BD.

证明:记,∴共面.

∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.

变式训练2:正方体ABCD-EFGH中,M、N分别是对角线AC和BE上的点,且AM=EN.

(1) 求证:MN∥平面FC;          

(2) 求证:MN⊥AB; 

(3) 当MA为何值时,MN取最小值,最小值是多少?

解:(1) 设

(2)

(3) 设正方体的边长为a,

也即

例3. 已知四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD, G、H分别是△ABC和△ACD的重心.

求证:(1) AD⊥BC; (2) GH∥BD.

证明:(1) AD⊥BC.因为ABCD,而

所以AD⊥BC.

(2) 设E、F各为BC和CD的中点.欲证GH∥BD,只需证GH∥EF,()=

变式训练3:已知平行六面体,E、F、G、H分别为棱的中点.求证:E、F、G、H四点共面.

解:

所以共面,即点E、F、G、H共面.

例4. 如图,平行六面体AC1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=,过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P,求AP:PC1的值.

 

解:设

又∵E、F、G、P四点共面,∴

  ∴AP︰PC1=3︰16

变式训练4:已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证

证明:法一:

法二:·=(+)·(+)

·

=0

小结归纳
 
 

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5.空间向量基本定理

(1) 空间向量的基底:        的三个向量.

(2) 空间向量基本定理:如果abc三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组,使        

空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一的有序实数组,使      

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4.共面向量

(1) 共面向量:平行于          的向量.

(2) 共面向量定理:两个向量ab不共线,则向量P与向量ab共面的充要条件是存在实数对(),使P          

共面向量定理的推论:       

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3.共线向量

(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相           

(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量ab(b0),ab等价于存在实数,使      

(3) 直线的向量参数方程:设直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在,使       

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2.线性运算律

(1) 加法交换律:a+b         

(2) 加法结合律:(a+b)+c       

(3) 数乘分配律:(a+b)=       

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1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;

(1) 向量:具有             的量.

(2) 向量相等:方向     且长度     

(3) 向量加法法则:            

(4) 向量减法法则:            

(5) 数乘向量法则:             

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3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式.

 

理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

第1课时   空间向量及其运算

基础过关
 
 

空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.

本节知识点是:

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2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.

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1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘.

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