14.设x∈(0,),则函数y=的最小值为________.
解析:∵y===k,取A(0,2),B(-sin2x,cos2x),则k表示过A、B两点直线的斜率,而B在方程x2+y2=1的左半圆上,作图(略),易知kmin=tan60°=.
答案:
13.sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是__________.
解析:解法1:sin14°cos16°+sin76°cos74°
=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=.
解法2:sin14°cos16°+sin76°cos74°
=cos76°cos16°+sin76°sin16°
=cos(76°-16°)=cos60°=.
答案:
12.若在x∈[0,]内有两个不同的实数值满足等式cos2x+sin2x=k+1,则k的取值范围是
( )
A.-2≤k≤1 B.-2≤k<1
C.0≤k≤1 D.0≤k<1
图2
解析:原方程即2sin(2x+)=k+1,sin(2x+)=.由0≤x≤,
得≤2x+≤,
y=sin(2x+)在x∈[0,]上的图象形状如图2.
故当≤<1时,方程有两个不同的根,
即0≤k<1.
答案:D
11.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,-<φ<)的图象关于直线x=π对称,它的周期是π,则
( )
A.f(x)的图象过点(0,)
B.f(x)的图象在[π,π]上是减函数
C.f(x)的最大值为A
D.f(x)的一个对称中心是点(π,0)
解析:∵T=π,∴ω=2,
又2·π+φ=kπ+
∴φ=kπ+-
当k=1时,φ=,验证知选D.
答案:D
10.(2010·黄冈质检)已知函数f(x)=πsin,如果存在实数x1、x2,使得对任意的实数x,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是
( )
A.8π B.4π
C.2π D.π
解析:由题意得函数f(x)在x=x1、x=x2处取得最小值与最大值,结合图象可知|x1-x2|的最小值恰好等于该函数的半个周期,即等于×=4π,选B.
答案:B
9.若定义在R上的函数f(x)满足f(+x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)可以是( )
A.f(x)=2sinx B.f(x)=2sin3x
C.f(x)=2cosx D.f(x)=2cos3x
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,∴排除A、B.
又∵f(+x)=-f(x),∴f(x)是周期为π的函数,
∴选D.
答案:D
8.(2009·江西高考)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为
( )
A.1 B.2
C.+1 D.+2
解析:f(x)=(1+·)cosx=cosx+sinx
=2(cosx+sinx)=2sin(x+).
∵0≤x<,∴≤x+≤.
∴≤sin(x+)≤1.∴1≤f(x)≤2.
答案:B
7.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤),且此函数的图象如图1所示,由点P(ω,φ)的坐标是
( )
图1
A.(2,) B.(2,)
C.(4,) D.(4,)
解析:由图象可得函数的周期T=2×(-)=π=,得ω=2,将(,0)代入y=sin(2x+φ)可得sin(+φ)=0,由0<φ≤可得φ=,
∴点(ω,φ)的坐标是(2,),故选B.
答案:B
6.若α∈[π,π],则+的值为
( )
A.2cos B.-2cos
C.2sin D.-2sin
解析:原式=+
=|sin+cos|+|sin-cos|.
∵α∈[,],∴∈[,],
当∈[,]时,sin≤cos≤0,
原式=-(sin+cos)-(sin-cos)
=-2sin,
当∈[,]时,sin<0,cos≥0.
且|sin|≥|cos|,
∴原式=-(sin+cos)-(sin-cos)
=-2sin.
综上,原式=-2sin.
答案:D
5.将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数为y=cosx,则f(x)为
( )
A.y=cos(2x+) B.y=cos(2x-)
C.y=cos(2x+π) D.y=cos(2x-π)
解析:y=cosxy=cos2x
y=cos2(x+).
答案:C
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