12.(2009·郑州二模)已知命题P:不等式lg[x(1-x)+1]>0的解集为{x|0<x<1};命题Q:在三角形ABC中,∠A>∠B是cos2(+)<cos2(+)成立的必要而非充分条件,则( )
A.P真Q假 B.P且Q为真
C.P且Q为假 D.P假Q真
解析:依题意,由lg[x(1-x)+1]>0得x(1-x)+1>1,∴x-x2>0,解得0<x<1,所以命题P正确;在三角形ABC中,∠A>∠B⇔sinA>sinB⇔-cos(+A)>-cos(+B)⇔
-2cos2(+)+1>-2cos2(+)+1⇔cos2(+)<cos2(+),所以命题Q是假命题,选择A.
答案:A
11.(2010·东北三校一模)设函数f(x)=,则(a≠b)的值为 ( )
A.a B.b
C.a、b中较小的数 D.a、b中较大的数
解析:对a-b进行讨论,当a-b>0时,f(a-b)=-1,==b;当a-b<0时,f(a-b)=1,==a,所以上式的值为a、b中较小的数.选C.
答案:C
10.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是 ( )
A.(0,] B.[,1)
C.(1,] D.(,+∞)
解析:令ax=t,则y=t2-(3a2+1)·t,
对称轴=-=≥.
①当0<a<1时,则0<ax<1.
欲使x∈[0,+∞)递增,只需≥1,
即3a2+1≥2,即a2≥.
∴a≥或a≤-(舍去).
②当a>1时,ax>1不成立,故选B.
答案:B
9.(2010·西安八校联考)已知正整数a、b满足4a+b=30,则使得+取得最小值的有序数对(a,b)是 ( )
A.(5,10) B.(6,6)
C.(7,2) D.(10,5)
解析:依题意得+=(+)(4a+b)=(4+++1)≥,当且仅当=时取最小值,即b=2a,再由4a+b=30,解得.
答案:A
8.(2009·成都一诊)下列四个命题中正确的是 ( )
A.若a,b∈R,则|a|-|b|<|a+b|
B.若a,b∈R,则|a-b|<|a|+|b|
C.若实数a,b满足|a-b|=|a|+|b|,则ab≤0
D.若实数a,b满足|a|-|b|<|a+b|,则ab<0
解析:对于A,当a=2,b=0时,|a|-|b|=|a+b|,因此A不正确;对于B,当a=2,b=0时,|a-b|=|a|+|b|,因此B不正确;对于D,当a=0,b=2时,满足|a|-|b|<|a+b|,但ab=0,因此D不正确.综上,选C.
答案:C
7.(2009·西城抽样)设a、b∈R,且b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则 ( )
A.a>1 B.a<-1
C.-1<a<0 D.|a|>1
解析:在坐标平面aOb中作出不等式组
即①与②表示的平面区域,结合图形观察可知,该平面区域内的任意一点(a,b)的横坐标都满足|a|>1,因此选D.
答案:D
6.已知a>0,b>0,a、b的等差中项为,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:由已知条件知a+b=1,∴1=a+b≥2.
∴ab≤.∴α+β=1+≥5(当且仅当a=b时取等号).
答案:C
5.不等式≤0的解集为 ( )
A.{-1} B.[-1,1]
C.[-1,1) D.(-1,1]
解析:由≤0可得,
∴,即得x∈[-1,1).
答案:C
4.(2010·武汉调研)若实数a、b∈(0,1),且满足(1-a)b>,则a、b的大小关系是( )
A.a<b B.a≤b
C.a>b D.a≥b
解析:∵a、b∈(0,1),∴1-a>0,又(1-a)b>,∴<()2,<,b-a>0,选择A.
答案:A
3.若a>1,0<b<1,则下列不等式中正确的是 ( )
A.ab<1 B.ba>1
C.logab<0 D.logba>0
解析:a>1,0<b<1,则logab<loga1=0.
答案:C
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