18．(12分)已知曲线C的方程为kx²+(4－k)y²＝k+1(k∈R)．

(1)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；

(2)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

(3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y＝x－1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

解：(1)当k＝0或k＝－1或k＝4时，C表示直线；

当k≠0且k≠－1且k≠4时方程为

+＝1，①

方程①表示椭圆的充要条件是

即是0<k<2或2<k<4.

(2)方程①表示双曲线的充要条件是·<0，

即k<－1或－1<k<0或k>4.

①当k<－1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，

a²＝，b²＝，

其一条渐近线的斜率为＝＝得k＝6.

②当－1<k<0时，双曲线焦点在y轴上，

a²＝，b²＝－，

其一条渐近线的斜率为＝＝，得k＝6(舍)，

综上得双曲线方程为－＝1.

(3)若存在，设直线PQ的方程为：y＝－x+m.

由消去y，

得4x²+4mx－2m²－7＝0.②

设P、Q的中点是M(x₀，y₀)，则

M在直线l上，

∴＝－－1，解得m＝－，方程②的Δ>0，

∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y＝－x－.

17．(12分)求两条渐近线为x+2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为的双曲线方程．

解：设所求双曲线的方程为x²－4y²＝k(k≠0)，

将y＝x－3代入双曲线方程得3x²－24x+k+36＝0，

由韦达定理得x₁+x₂＝8，x₁x₂＝+12，

由弦长公式得

|x₁－x₂|＝· ＝，

解得k＝4，

故所求双曲线的方程为－y²＝1.

16．以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O坐标原点，若＝(+)，则动点P的轨迹为椭圆；

③方程2x²－5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线－＝1与椭圆+y²＝1有相同的焦点．

其中真命题的序号为__________．(写出所有真命题的序号)

解析：①当k为负值时，动点轨迹不为双曲线；②当＝时，点P不在椭圆上；③④正确，则真命题为③④.

答案：③④

15．过双曲线x²－y²＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为__________．

解析：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵|FP|＝ex₁－a，|FQ|＝ex₂－a，

|FP|·|FQ|＝(ex₁－a)(ex₂－a)

＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a².

k_PQ＝tan105°＝－(2+)．

直线PQ的方程为y＝－(2+)(x－2)．

由得

x₁+x₂＝，

x₁x₂＝.

∴|FP|·|FQ|＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a²

＝2×－2×+4

＝.

答案：

14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________．

图4

解析：如图4所示，由题意

M(－c，)，MF＝FB，

即＝c+a.①

∵b²＝c²－a²，

由①整理得c²－ac－2a²＝0，即

(c+a)(c－2a)＝0.

∴c＝－a(舍)或c＝2a.

∴e＝＝2.

答案：2

13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是__________．

解析：设椭圆标准方程为+＝1(a>b>0)，

由题意知＝2，即a＝2b，且c＝2，由a²＝b²+c²，解得

∴椭圆的标准方程为+＝1.

答案：+＝1

12．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)²+y²＝1和(x－5)²+y²＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．7

C．8　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．9

图3

解析：由于两圆心恰好为双曲线的焦点，

|PM|≤|PF₁|+r₁＝|PF₁|+1，

|PN|≥|PF₂|－r₂＝|PF₂|－2，

∴|PM|－|PN|

≤|PF₁|+1－(|PF₂|－2)

＝|PF₁|－|PF₂|+3＝2a+3＝9.

答案：D

11．设椭圆+＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax²+bx－c＝0的两实根分别为x₁，x₂，则点P(x₁，x₂)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．必在圆x²+y²＝2内

B．必在圆x²+y²＝2上

C．必在圆x²+y²＝2外

D．以上情形都有可能

解析：∵e＝＝，∴a＝2c.

又∵a²＝b²+c²，∴b²＝a².

∵x₁+x₂＝－，x₁x₂＝，

∴x+x＝(x₁+x₂)²－2x₁x₂

＝+＝+2e＝+1＝<2.

答案：A

10．设O为坐标原点，F为抛物线y²＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(2，±2)　 　　　　　　　　　　　　 B．(1，±2)

C．(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2,2)

解析：设A(x₀，y₀)、F(1,0)，＝(x₀，y₀)，＝(1－x₀，－y₀)，·＝x₀(1－x₀)－y＝－4.

∵y＝4x₀，∴x₀－x－4x₀+4＝0⇒x+3x₀－4＝0，x₀＝1或x₀＝－4(舍去)．

∴x₀＝1，y₀＝±2.故选B.

答案：B

9．若抛物线y²＝2px的焦点与椭圆+＝1的右焦点重合，则p的值为　　　　 (　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．－4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

解析：椭圆的右焦点为F(2,0)，由题意＝2，

∴p＝4.

答案：D