22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x_n}满足x₁＝，x_n+1＝，n∈N^*.

(1)猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；

(2)证明：|x_n+1－x_n|≤()^n－1.

(文)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，a_n+2＝，n∈N^*.

(1)令b_n＝a_n+1－a_n，证明：{b_n}是等比数列；

(2)求{a_n}的通项公式．

解：(理)(1)由x₁＝及x_n+1＝

得x₂＝，x₄＝，x₆＝.

由x₂>x₄>x₆猜想，数列{x_2n}是递减数列．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已证命题成立．

②假设当n＝k时命题成立，即x_2k>x_2k+2，

易知x_n>0，那么x_2k+2－x_2k+4＝－＝＝>0，即x_2(k+1)>x_2(k+1)+2，

也就是说，当n＝k+1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．

(2)当n＝1时，|x_n+1－x_n|＝|x₂－x₁|＝，结论成立；

当n≥2时，易知0<x_n－1<1，

∴1+x_n－1<2，x_n＝>，

∴(1+x_n)(1+x_n－1)＝(1+)(1+x_n－1)

＝2+x_n－1≥，

∴|x_n+1－x_n|＝|－|＝≤|x_n－x_n－1|≤()²|x_n－1－x_n－2|≤…≤()^n－1|x₂－x₁|＝()^n－1.

(文)(1)b₁＝a₂－a₁＝1，当n≥2时，b_n＝a_n+1－a_n＝－a_n＝－(a_n－a_n－1)＝－b_n－1，

∴{b_n}是以1为首项，－为公比的等比数列．

(2)由(1)知b_n＝a_n+1－a_n＝(－)^n－1，

当n≥2时，a_n＝a₁+(a₂－a₁)+(a₃－a₂)+…+(a_n－a_n－1)＝1+1+(－)+…+(－)^n－2

＝1+＝1+[1－(－)^n－1]＝－(－)^n－1，当n＝1时，－(－)^1－1＝1＝a₁.

∴a_n＝－(－)^n－1(n∈N^*)．

21．(12分)若公比为c的等比数列{a_n}的首项a₁＝1，且a_n＝(n＝3,4，…)．

(1)求c的值．

(2)求数列{na_n}的前n项和S_n.

解：(1)由题设，当n≥3时，a_n＝c²a_n－2，

a_n－1＝ca_n－2，a_n＝＝a_n－2，

∴c²＝.

解得c＝1或c＝－.

(2)当c＝1时{a_n}是一个常数数列，a_n＝1.

此时S_n＝1+2+3+…+n＝.

当c＝－时，a_n＝(－)^n－1(n∈N^*)．

此时S_n＝1+2(－)+3(－)²+…+n(－)^n－1.①

－S_n＝－+2(－)²+3(－)³+…+(n－1)(－)^n－1+n(－)ⁿ.②

①－②，得(1+)S_n＝1+(－)+(－)²+…+(－)^n－1－n(－)ⁿ＝－n(－)ⁿ.

∴S_n＝[4－(－1)ⁿ]．

20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．

(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？

(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.05⁸＝1.4774)

解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．

(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．

依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)²+…+(1+5%)^n－1]≥500(1+5%)ⁿ⁺¹.

化简得62(1.05ⁿ－1)≥25×1.05ⁿ⁺¹，

∴1.05ⁿ≥1.7343.

两边取对数整理得n≥＝＝11.28，∴取n＝12(年)．

∴到2014年底可全部还清贷款．

(2)设每生每年的最低收费标准为x元，

∵到2010年底公寓共使用了8年，

依题意有(－18)[1+(1+5%)+(1+5%)²+…+(1+5%)⁷]≥500(1+5%)⁹.

化简得(0.1x－18)≥500×1.05⁹.

∴x≥10(18+)

＝10(18+)

＝10×(18+81.2)＝992(元)

故每生每年的最低收费标准为992元．

19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄＝28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使S_n>42+4n成立的n的最小值．

解：(1)设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2(a₃+2)＝a₂+a₄，①

又a₂+a₃+a₄＝28，将①代入得a₃＝8.所以a₂+a₄＝20.于是有解得或

又{a_n}是递增的，故a₁＝2，q＝2.

所以a_n＝2ⁿ.

(2)b_n＝log₂2ⁿ⁺¹＝n+1，S_n＝.

故由题意可得>42+4n，解得n>12或n<－7.又n∈N^*，所以满足条件的n的最小值为13.

18．(12分)已知函数f(x)＝，数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)(n∈N^*)．

(1)求证：数列{}是等差数列；

(2)记S_n(x)＝++…+eq \f(xⁿ,a_n)，求S_n(x)．

(1)证明：∵a_n+1＝f(a_n)，∴a_n+1＝.

∴＝+3，即－＝3.

∴{}是以＝1为首项，3为公差的等差数列．

∴＝1+3(n－1)＝3n－2.

(2)解：S_n(x)＝x+4x²+7x³+…+(3n－2)xⁿ，①

当x＝1时，S_n(x)＝1+4+7+…+(3n－2)＝＝.

当x≠1时，xS_n(x)＝x²+4x³+…+(3n－5)xⁿ+(3n－2)xⁿ⁺¹，②

①－②，得(1－x)S_n(x)＝x+3x²+3x³+…+3xⁿ－(3n－2)xⁿ⁺¹＝3(x+x²+…+xⁿ)－2x－(3n－2)xⁿ⁺¹＝－2x－(3n－2)xⁿ⁺¹，

S_n(x)＝－.

17．(12分)S_n是无穷等比数列{a_n}的前n项和，公比q≠1，已知1是S₂和S₃的等差中项，6是2S₂和3S₃的等比中项．

(1)求S₂和S₃的值；

(2)求此数列的通项公式；

(3)求此数列的各项和S.

解：(1)由题意知，

解得S₂＝2，S₃＝3.

(2)，

解得或(舍去)．

∴a_n＝4·(－)^n－1.

(3)∵|q|＝|－|＝<1.∴S＝＝.

16．数列{a_n}中，a₁＝3，a_n－a_na_n+1＝1(n＝1,2，…)，A_n表示数列{a_n}的前n项之积，则A₂₀₀₅＝__________.

解析：可求出a₁＝3，a₂＝，a₃＝－，a₄＝3，a₅＝，a₆＝－，…，数列{a_n}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3+1且a₁×a₂×a₃＝－1，则

A₂₀₀₅＝(a₁×a₂×a₃)…(a₂₀₀₂×a₂₀₀₃×a₂₀₀₄)×a₂₀₀₅

＝(a₁×a₂×a₃)⁶⁶⁸a₁＝3.

答案：3

15．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．

解析：设构成等差数列的五个数为a－2d，a－d，a，a+d，a+2d，则解得，

则最少的一份为a－2d＝10.

答案：10

14．(2009·重庆一诊)已知数列{a_n}是等比数列，且a₄·a₅·a₆·a₇·a₈·a₉·a₁₀＝128，则a₁₅·＝__________.

解析：设等比数列{a_n}的公比为q，则依题意得a·q⁴²＝128，a₁·q⁶＝2，a₇＝2，a₁₅·＝a₂·q⁵＝a₇＝2.

答案：2

13．已知{a_n}是等差数列，a₄+a₆＝6，其前5项和S₅＝10，则其公差d＝__________.

解析：由a₄+a₆＝6，得a₅＝3，又S₅＝＝10，

∴a₁＝1.∴4d＝a₅－a₁＝2，d＝.

答案：