0  375682  375690  375696  375700  375706  375708  375712  375718  375720  375726  375732  375736  375738  375742  375748  375750  375756  375760  375762  375766  375768  375772  375774  375776  375777  375778  375780  375781  375782  375784  375786  375790  375792  375796  375798  375802  375808  375810  375816  375820  375822  375826  375832  375838  375840  375846  375850  375852  375858  375862  375868  375876  447090 

22.(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.

(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;

(2)证明:|xn+1xn|≤()n1.

(文)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.

(1)令bnan+1an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式.

解:(理)(1)由x1=及xn+1

x2=,x4=,x6=.

x2>x4>x6猜想,数列{x2n}是递减数列.

下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,已证命题成立.

②假设当nk时命题成立,即x2k>x2k+2

易知xn>0,那么x2k+2x2k+4=-==>0,即x2(k+1)>x2(k+1)+2

也就是说,当nk+1时命题也成立.结合①和②知,命题成立.

(2)当n=1时,|xn+1xn|=|x2x1|=,结论成立;

n≥2时,易知0<xn1<1,

∴1+xn1<2,xn=>,

∴(1+xn)(1+xn1)=(1+)(1+xn1)

=2+xn1≥,

∴|xn+1xn|=|-|=≤|xnxn1|≤()2|xn1xn2|≤…≤()n1|x2x1|=()n1.

(文)(1)b1a2a1=1,当n≥2时,bnan+1an=-an=-(anan1)=-bn1

∴{bn}是以1为首项,-为公比的等比数列.

(2)由(1)知bnan+1an=(-)n1

n≥2时,ana1+(a2a1)+(a3a2)+…+(anan1)=1+1+(-)+…+(-)n2

=1+=1+[1-(-)n1]=-(-)n1,当n=1时,-(-)11=1=a1.

an=-(-)n1(n∈N*).

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21.(12分)若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1,且an=(n=3,4,…).

(1)求c的值.

(2)求数列{nan}的前n项和Sn.

解:(1)由题设,当n≥3时,anc2an2

an1can2an==an2

c2=.

解得c=1或c=-.

(2)当c=1时{an}是一个常数数列,an=1.

此时Sn=1+2+3+…+n=.

c=-时,an=(-)n1(n∈N*).

此时Sn=1+2(-)+3(-)2+…+n(-)n1.①

Sn=-+2(-)2+3(-)3+…+(n-1)(-)n1+n(-)n.②

①-②,得(1+)Sn=1+(-)+(-)2+…+(-)n1n(-)n=-n(-)n.

Sn=[4-(-1)n].

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20.(12分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于2002年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元,其余部分全部在年底还建行贷款.

(1)若公寓收费标准定为每生每年800元,问到哪一年可偿还建行全部贷款?

(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元)(参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)

解:依题意,公寓2002年底建成,2003年开始使用.

(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800元=800000元=80万元,扣除18万元,可偿还贷款62万元.

依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n1]≥500(1+5%)n+1.

化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1

∴1.05n≥1.7343.

两边取对数整理得n≥==11.28,∴取n=12(年).

∴到2014年底可全部还清贷款.

(2)设每生每年的最低收费标准为x元,

∵到2010年底公寓共使用了8年,

依题意有(-18)[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9.

化简得(0.1x-18)≥500×1.059.

x≥10(18+)

=10(18+)

=10×(18+81.2)=992(元)

故每生每年的最低收费标准为992元.

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19.(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log2an+1Sn是数列{bn}的前n项和,求使Sn>42+4n成立的n的最小值.

解:(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意有2(a3+2)=a2+a4,①

a2+a3+a4=28,将①代入得a3=8.所以a2+a4=20.于是有解得或

又{an}是递增的,故a1=2,q=2.

所以an=2n.

(2)bn=log22n+1n+1,Sn=.

故由题意可得>42+4n,解得n>12或n<-7.又n∈N*,所以满足条件的n的最小值为13.

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18.(12分)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1f(an)(n∈N*).

(1)求证:数列{}是等差数列;

(2)记Sn(x)=++…+eq \f(xn,an),求Sn(x).

(1)证明:∵an+1f(an),∴an+1=.

∴=+3,即-=3.

∴{}是以=1为首项,3为公差的等差数列.

∴=1+3(n-1)=3n-2.

(2)解:Sn(x)=x+4x2+7x3+…+(3n-2)xn,①

x=1时,Sn(x)=1+4+7+…+(3n-2)==.

x≠1时,xSn(x)=x2+4x3+…+(3n-5)xn+(3n-2)xn+1,②

①-②,得(1-x)Sn(x)=x+3x2+3x3+…+3xn-(3n-2)xn+1=3(x+x2+…+xn)-2x-(3n-2)xn+1=-2x-(3n-2)xn+1

Sn(x)=-.

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17.(12分)Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,公比q≠1,已知1是S2S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.

(1)求S2S3的值;

(2)求此数列的通项公式;

(3)求此数列的各项和S.

解:(1)由题意知,

解得S2=2,S3=3.

(2),

解得或(舍去).

an=4·(-)n1.

(3)∵|q|=|-|=<1.∴S==.

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16.数列{an}中,a1=3,ananan+1=1(n=1,2,…),An表示数列{an}的前n项之积,则A2005=__________.

解析:可求出a1=3,a2=,a3=-,a4=3,a5=,a6=-,…,数列{an}每3项重复一次,可以理解为周期数列,由2005=668×3+1且a1×a2×a3=-1,则

A2005=(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004a2005

=(a1×a2×a3)668a1=3.

答案:3

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15.把100个面包分给5个人,使每人所得的面包数成等差数列,且使较多的三份之和的等于较少的两份之和,则最少的一份面包个数是__________.

解析:设构成等差数列的五个数为a-2dadaa+da+2d,则解得,

则最少的一份为a-2d=10.

答案:10

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14.(2009·重庆一诊)已知数列{an}是等比数列,且a4·a5·a6·a7·a8·a9·a10=128,则a15·=__________.

解析:设等比数列{an}的公比为q,则依题意得a·q42=128,a1·q6=2,a7=2,a15·=a2·q5a7=2.

答案:2

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13.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差d=__________.

解析:由a4+a6=6,得a5=3,又S5==10,

a1=1.∴4da5a1=2,d=.

答案:

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