22.(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.
(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;
(2)证明:|xn+1-xn|≤()n-1.
(文)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.
(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
解:(理)(1)由x1=及xn+1=
得x2=,x4=,x6=.
由x2>x4>x6猜想,数列{x2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已证命题成立.
②假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,
易知xn>0,那么x2k+2-x2k+4=-==>0,即x2(k+1)>x2(k+1)+2,
也就是说,当n=k+1时命题也成立.结合①和②知,命题成立.
(2)当n=1时,|xn+1-xn|=|x2-x1|=,结论成立;
当n≥2时,易知0<xn-1<1,
∴1+xn-1<2,xn=>,
∴(1+xn)(1+xn-1)=(1+)(1+xn-1)
=2+xn-1≥,
∴|xn+1-xn|=|-|=≤|xn-xn-1|≤()2|xn-1-xn-2|≤…≤()n-1|x2-x1|=()n-1.
(文)(1)b1=a2-a1=1,当n≥2时,bn=an+1-an=-an=-(an-an-1)=-bn-1,
∴{bn}是以1为首项,-为公比的等比数列.
(2)由(1)知bn=an+1-an=(-)n-1,
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+(-)+…+(-)n-2
=1+=1+[1-(-)n-1]=-(-)n-1,当n=1时,-(-)1-1=1=a1.
∴an=-(-)n-1(n∈N*).
21.(12分)若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1,且an=(n=3,4,…).
(1)求c的值.
(2)求数列{nan}的前n项和Sn.
解:(1)由题设,当n≥3时,an=c2an-2,
an-1=can-2,an==an-2,
∴c2=.
解得c=1或c=-.
(2)当c=1时{an}是一个常数数列,an=1.
此时Sn=1+2+3+…+n=.
当c=-时,an=(-)n-1(n∈N*).
此时Sn=1+2(-)+3(-)2+…+n(-)n-1.①
-Sn=-+2(-)2+3(-)3+…+(n-1)(-)n-1+n(-)n.②
①-②,得(1+)Sn=1+(-)+(-)2+…+(-)n-1-n(-)n=-n(-)n.
∴Sn=[4-(-1)n].
20.(12分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于2002年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元,其余部分全部在年底还建行贷款.
(1)若公寓收费标准定为每生每年800元,问到哪一年可偿还建行全部贷款?
(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元)(参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)
解:依题意,公寓2002年底建成,2003年开始使用.
(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800元=800000元=80万元,扣除18万元,可偿还贷款62万元.
依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1.
化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1,
∴1.05n≥1.7343.
两边取对数整理得n≥==11.28,∴取n=12(年).
∴到2014年底可全部还清贷款.
(2)设每生每年的最低收费标准为x元,
∵到2010年底公寓共使用了8年,
依题意有(-18)[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9.
化简得(0.1x-18)≥500×1.059.
∴x≥10(18+)
=10(18+)
=10×(18+81.2)=992(元)
故每生每年的最低收费标准为992元.
19.(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2、a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log2an+1,Sn是数列{bn}的前n项和,求使Sn>42+4n成立的n的最小值.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意有2(a3+2)=a2+a4,①
又a2+a3+a4=28,将①代入得a3=8.所以a2+a4=20.于是有解得或
又{an}是递增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(2)bn=log22n+1=n+1,Sn=.
故由题意可得>42+4n,解得n>12或n<-7.又n∈N*,所以满足条件的n的最小值为13.
18.(12分)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)记Sn(x)=++…+eq \f(xn,an),求Sn(x).
(1)证明:∵an+1=f(an),∴an+1=.
∴=+3,即-=3.
∴{}是以=1为首项,3为公差的等差数列.
∴=1+3(n-1)=3n-2.
(2)解:Sn(x)=x+4x2+7x3+…+(3n-2)xn,①
当x=1时,Sn(x)=1+4+7+…+(3n-2)==.
当x≠1时,xSn(x)=x2+4x3+…+(3n-5)xn+(3n-2)xn+1,②
①-②,得(1-x)Sn(x)=x+3x2+3x3+…+3xn-(3n-2)xn+1=3(x+x2+…+xn)-2x-(3n-2)xn+1=-2x-(3n-2)xn+1,
Sn(x)=-.
17.(12分)Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,公比q≠1,已知1是S2和S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.
(1)求S2和S3的值;
(2)求此数列的通项公式;
(3)求此数列的各项和S.
解:(1)由题意知,
解得S2=2,S3=3.
(2),
解得或(舍去).
∴an=4·(-)n-1.
(3)∵|q|=|-|=<1.∴S==.
16.数列{an}中,a1=3,an-anan+1=1(n=1,2,…),An表示数列{an}的前n项之积,则A2005=__________.
解析:可求出a1=3,a2=,a3=-,a4=3,a5=,a6=-,…,数列{an}每3项重复一次,可以理解为周期数列,由2005=668×3+1且a1×a2×a3=-1,则
A2005=(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004)×a2005
=(a1×a2×a3)668a1=3.
答案:3
15.把100个面包分给5个人,使每人所得的面包数成等差数列,且使较多的三份之和的等于较少的两份之和,则最少的一份面包个数是__________.
解析:设构成等差数列的五个数为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则解得,
则最少的一份为a-2d=10.
答案:10
14.(2009·重庆一诊)已知数列{an}是等比数列,且a4·a5·a6·a7·a8·a9·a10=128,则a15·=__________.
解析:设等比数列{an}的公比为q,则依题意得a·q42=128,a1·q6=2,a7=2,a15·=a2·q5=a7=2.
答案:2
13.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差d=__________.
解析:由a4+a6=6,得a5=3,又S5==10,
∴a1=1.∴4d=a5-a1=2,d=.
答案:
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