6.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的 ( )
解析:(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔或
答案:C
5.过点(1,3)作直线l,若l过点(a,0)与(0,b),且a,b∈N*,则可作出的直线l的条数为 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.多于3条
解析:因为+=1,且a,b∈N*,
所以或.故选B.
答案:B
4.直线(a+1)x-y+1-2a=0与直线(a2-1)x+(a-1)y-15=0平行,则实数a的值为
( )
A.1 B.-1,1
C.-1 D.0
解析:将-1,1,0分别代入两直线方程检验得a=-1符合题意.
答案:C
3.已知两直线x+ay+1=0与ax-y-3=0垂直,则a的取值的集合是 ( )
A.{-1,1} B.{x|x≠0}
C.R D.Ø
解析:当a=0时,两直线为x=-1或y=-3,则两直线垂直,当a≠0时,两直线的斜率分别为-和a,又-×a=
-1,则两直线垂直,故a的取值的集合是R,选C.
答案:C
2.若点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,则直线方程可表示为 ( )
A.A(x-x0)+B(y-y0)=0
B.A(x-x0)-B(y-y0)=0
C.B(x-x0)+A(y-y0)=0
D.B(x-x0)-A(y-y0)=0
解析:依题意得Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0,代入直线方程得Ax+By-Ax0-By0=0,故直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,选A.
答案:A
1.若a+b=0,则直线y=ax+b的图象可能是 ( )
解析:由a+b=0得a=-b,直线在x轴上的截距为-=1,故选D.
答案:D
22.(14分)
(2009·北京东城模拟)如图17所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.
图17
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的大小;
(3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,∴BC⊥AB,又BC⊥PB,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA.
同理CD⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)建立如图18所示的空间直角坐标系A-xyz,
图18
则A(0,0,0),C(2,2,0)、E(0,1,1).
设m=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量.
则m⊥,m⊥.
又=(0,1,1),=(2,2,0),
∴
令x=1,则y=-1,z=1,得m=(1,-1,1)
又=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量,
设二面角E-AC-D的大小为θ,则
cosθ=cos?m,?=AP,\s\up6(→\s\up7( ==.
∴二面角E-AC-D的大小为arccos.
(3)设F(2,t,0)(0≤t≤2),n=(a,b,c)为平面PAF的一个法向量,则n⊥,n⊥.
又=(0,0,2),=(2,t,0),∴
令a=t,则b=-2,c=0,
得n=(t,-2,0).
又=(0,1,1).
∴点E到平面PAF的距离为=,
∴=,解得t=1,即F(2,1,0).
∴在线段BC上存在点F,且F为BC中点,使得点E到平面PAF的距离为.
21.(12分)(2009·唐山二模)如图15,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面所成的角为60°,AB=BC,A1A=A1C=2,AB⊥BC,侧面AA1C1C⊥底面ABC.
(1)证明:A1B⊥A1C1;
(2)求二面角A-CC1-B的大小;
(3)求经过A1、A、B、C四点的球的表面积.
图15
图16
解:取AC中点为O,由A1A=A1C,AB=BC,知A1O⊥AC,BO⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,所以A1O⊥OB.
建立如图16所示的坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),
B(1,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0).
(1)∵=(1,0,-),==(0,2,0),
∴·=0,∴A1B⊥A1C1.
(2)设n=(x,y,z)为面BCC1的一个法向量.
∵=(-1,1,0),==(0,1,),
又n·=n·=0,
∴取n=(,,-1).
又m=(1,0,0)是面ACC1的法向量,
cos?m,n?===.
由点B在平面ACC1内的射影O在二面角的面ACC1内,知二面角A-CC1-B为锐角,
所以二面角A-CC1-B的大小为arccos.
(3)设球心为O1,因为O是△ABC的外心,A1O⊥平面ABC,
所以点O1在A1O上,则O1是正三角形A1AC的中心.
则球半径R=A1A=,球表面积S=4πR2=π.
20.(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.
(1)设E,F分别为AB1,BC1的中点,求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:A1C1⊥AB;
(3)求点B1到平面ABC1的距离.
图14
解:(1)∵E,F分别为AB1,BC1的中点,∴EF∥A1C1.
∵A1C1∥AC,
∴EF∥AC,∴EF∥平面ABC.
(2)∵AB=CC1,∴AB=BB1.
又三棱柱为直三棱柱,
∴四边形ABB1A1为正方形,
连结A1B,则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1,∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面A1ABB1,∴A1C1⊥AB.
(3)∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面ABC1,
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离,过A1作A1G⊥AC1于G.
∵AB⊥平面ACC1A1,∴AB⊥A1G,
从而A1G⊥平面ABC1,故A1G即为所求的距离,
求得A1G=.
19.(12分)(2009·湖北联考)如图13,长方体AC1中,AB=2,BC=AA1=1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点.
(1)试在底面A1B1C1D1上找一点H,使EH∥平面FGB1;
(2)求四面体EFGB1的体积.
图13
解:(1)取A1D1的中点P,D1P的中点H,连接DP、EH,则DP∥B1G,EH∥DP,∴EH∥B1G,又B1G⊂平面FGB1,∴EH∥平面FGB1.
即H在A1D1上,且HD1=A1D1时,EH∥平面FGB1.
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