4．(2009·辽宁高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx+φ)的图像如图2所示，f()＝－，则f(0)等于

(　)

图2

A．－　　　　　　　　　　　　　　　 B．－

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：首先由题图可知所求函数的周期为，故ω＝＝3.将(，0)代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，∴+φ＝+2kπ.

∴φ＝－+2kπ.令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)．

又∵f()＝－，f()＝－Acos＝－，

∴f(0)＝Acos(－)＝Acos＝.

答案：C

3．设点P是函数f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是π，则函数f(x)的最小正周期是

(　)

A．π　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2π

C．3π　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4π

解析：由f(x)的图象性质得f(x)的周期为4π，故选D.　 　　　　　　　　　　　　　　

答案：D

2．如图1为函数y＝2sin(ωx+φ)(|φ|

<)的图象，那么

(　)

图1

A．ω＝，φ＝

B．ω＝，φ＝－

C．ω＝2，φ＝

D．ω＝2，φ＝－

解析：因图象可由y＝2sinωx左移而得，∴φ>0，又∵图象过(0,1)点，∴φ＝，再由图象过(π，0)，得ω＝2.

故选C.

答案：C

1．将函数y＝sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是

(　)

A．(，0)　　　　　　　 B．(，0)

C．(，0)　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．(，0)

解析：将函数y＝sin(6x+)的图象按照条件变换后得到y＝sin2x的图象，故选A.

答案：A

13．(20分)(2009·山东青岛模拟)已知二次函数f(x)对于任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1+x)成立，设向量a＝(sinθ，2)，b＝(2sinθ，)，c＝(cos2θ，1)，d＝(1,2)，当θ∈[0，π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集．

解：∵f(1－x)＝f(1+x)，

∴f(x)的对称轴为x＝1，

∵a·b＝2sin²θ+1≥1，c·d＝cos2θ+2≥1，

不妨设f(x)的二次项系数为m，

①当m>0时，f(x)在[1，+∞)上为增函数，

由f(a·b)>f(c·d)得2sin²θ+1>cos2θ+2，

∴cos2θ<0.∵θ∈[0，π]，

∴<θ<.

②当m<0时，f(x)在[1，+∞)上为减函数，

则2sin²θ+1<cos2θ+2，∴cos2θ>0.

∴0≤θ<或<θ≤π.

∴当二次项系数为m>0时，原不等式的解集为(，)　 　　　　　　　　　　　　　　

当二次项系数m<0时，原不等式的解集为[0，)∪(π，π]．

12．(15分)(2009·广东高考)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．

解：(1)∵a⊥b，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin²θ+cos²θ＝1，得sinθ＝±，cosθ＝±，又θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.

(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<.

则cos(θ－φ)＝＝，

∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)+sinθsin(θ－φ)＝.

11．(15分)已知α为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝，求tanα和tanβ的值．

解：∵cosα＝，且α为锐角，

∴sinα＝＝＝.

∴tanα＝＝.

于是tanβ＝tan[α－(α－β)]

＝＝＝.

10．(2009·西城抽样)给出下列四个函数：

①y＝sinx+cosx；②y＝sinx－cosx；

③y＝sinx·cosx；④y＝.

其中在(0，)上既无最大值也无最小值的函数是______．

解析：对于①，注意到当x∈(0，)时，函数y＝sinx+cosx＝sin(x+)有最大值；对于②，注意到当x∈

(0，)时，x－∈(－，)，sin(x－)∈(－，)，此时y＝sinx－cosx＝sin(x－)既无最大值也无最小值；对于③，注意到当x∈(0，)时，2x∈(0，π)，此时函数y＝sinxcosx＝sin2x有最大值；对于④，当x∈(0，)时，y＝＝tanx是增函数，此时该函数既无最大值也无最小值．综上所述，其中在(0，)上既无最大值也无最小值的函数是②④.

答案：②④

9．(2010·东城目标检测)已知{a_n}为等差数列，若a₁+a₅+a₉＝π，则cos(a₂+a₈)的值为__________．

解析：由a₁+a₅+a₉＝π，得a₅＝，a₂+a₈＝2a₅＝，

∴cos(a₂+a₈)＝－.

答案：－

8．已知△ABC的三个内角A、B、C 满足cosA(sinB+cosB)+cosC＝0，则∠A＝________.

解析：由题意得cosA(sinB+cosB)－cos(A+B)＝0，展开并整理得sinB(cosA+sinA)＝0，又sinB>0，因此cosA+sinA＝0，tanA＝－1，又A∈(0，π)，因此∠A＝.

答案：(或135°)