13．(20分)(2009·江苏高考)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α+β)的值；

(2)求|b+c|的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

解：(1)因为a与b－2c垂直，

b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ+8sinβ)，

所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ＝4sin(α+β)－8cos(α+β)＝0，

因此tan(α+β)＝2.

(2)由b+c＝(sinβ+cosβ，4cosβ－4sinβ)，得

|b+c|＝

＝≤4.

又当β＝－时，等号成立，所以|b+c|的最大值为4.

(3)证明：由tanαtanβ＝16得＝，

所以a∥b.

12．(15分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝

(5－m，－3－m)．

(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；

(2)若点A、B、C构成以∠A为直角的直角三角形，求m的值．

解：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．

由＝(3,1)、＝(2－m,1－m)不共线，得3(1－m)≠2－m.解得m≠.

(2)∵∠A为直角，∴⊥.

∴3(2－m)+(1－m)＝0，得m＝.

11．(15分)设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i+mj，＝ni+j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．

解：＝－＝(n+2)i+(1－m)j，

＝－＝(5－n)i+(－2)j，

因为A、B、C共线，所以与共线，

所以－2(n+2)＝(1－m)(5－n)．　　　　　　　 ①

又m＝2n，　　　　　　　　　　 　　　　　　②

解①②组成的方程组得或

10．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m、n满足ma+nb＝c，则(m－3)²+n²的最大值为__________．

解析：由ma+nb＝c得m(1,1)+n(1，－1)＝

(cosα，sinα)，∴∴m＝(sinα+cosα)，n＝(cosα－sinα)，∴(m－3)²+n²＝m²+n²－6m+9＝10－3(sinα+cosα)＝10－6sin(α+)，∴(m－3)²+n²的最大值为16.

答案：16

9．(2010·山东青岛模拟)若向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a+2b，v＝2a－b且u∥v，则x＝__________.

解析：u＝(1,2)+2(x,1)＝(1,2)+(2x,2)＝(2x+1,4)，

v＝2(1,2)－(x,1)＝(2,4)－(x,1)＝(2－x,3)．

由u∥v，一定存在λ∈R，使u＝λv，

则有(2x+1,4)＝((2－x)λ，3λ)，

∴

∴(2x+1)＝(2－x)，解得x＝.

也可由下面的方法求得：

由u∥v，得(2x+1)·3－4(2－x)＝0.∴x＝.

答案：

8．(2009·江西高考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.

解析：a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，

∵(a－c)∥b，∴＝.∴k＝5.

答案：5

7．l₁、l₂是不共线向量，且a＝－l₁+3l₂，b＝4l₁+2l₂，c＝－3l₁+12l₂，若b，c为一组基底，则a＝__________.

解析：设a＝λ₁b+λ₂c，即－l₁+3l₂＝λ₁(4l₁+2l₂)+λ₂(－3l₁+12l₂)，即－l₁+3l₂＝(4λ₁－3λ₂)l₁+(2λ₁+12λ₂)l₂.

∴

解之，得λ₁＝－，λ₂＝.

答案：－b+c

6．直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是

(　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 B．2

C．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

解析：若∠A＝90°，则·＝6+k＝0，k＝－6；

若∠B＝90°，则·＝·(－)＝0，k＝－1；

若∠C＝90°，则·＝·(－)＝0⇔k²－k+3＝0无解．

∴综上，k可能取－6，－1两个数．故选B.

答案：B

5．(2009·宁夏模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是

(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

解析：k_AB＝，k_AC＝，

∵A、B、C三点共线，∴k_AB＝k_AC，即＝.

∴2a+b＝1.

∴+＝+

＝4++≥4+2＝8.(等号成立的条件为b＝2a)

∴+的最小值是8.

答案：D

4．(2010·北京海淀模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝

(，1+sinθ)，且a∥b，则锐角θ等于

(　)

A．30°　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．45°

C．60° 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．75°

解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1+sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.

答案：B