7．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a+kb，＝a+b，＝2a－b，且A、B、D三点共线，则实数k的值等于__________．

解析：A、B、D三点共线⇔向量与共线，＝2a+kb，＝+＝－a－b+2a－b＝a－2b，由此可解得k＝－4.

答案：－4

6．已知平面内有一点P及△ABC，若++＝，则

(　)

A．点P在△ABC外部　 　　　　　B．点P在线段AB上

C．点P在线段BC上 　　　　　　D．点P在线段AC上

解析：因为++＝⇔+++＝⇔2+＝0，所以P在线段AC上，选择D.

答案：D

5．已知a，b是不共线的向量，若＝λ₁a+b，＝a+λ₂b(λ₁，λ₂∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为

(　)

A．λ₁λ₂－1＝0　 　　　　　　　　B．λ₁＝λ₂＝1

C．λ₁＝λ₂＝－1　 　　　　　　　　D．λ₁λ₂+1＝0

解析：A、B、C三点共线⇔∥⇔λ₁λ₂＝1.故选A.

答案：A

4．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于

(　)

A．a　 　　　　　　　　　　　　B．b

C．c　 　　　　　　　　　　　　D．0

解析：由共线向量定理可设a+b＝λ₁c，b+c＝λ₂a，所以b＝λ₁c－a，b＝λ₂a－c.由向量的唯一性可知λ₁＝λ₂＝－1，所以a+b＝－c.

答案：D

3．(2009·广东高考)一质点受到平面上的三个力F₁、F₂、F₃(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F₁、F₂成60°角，且F₁、F₂的大小分别为2和4，则F₃的大小为

(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　B．2

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　D．6

解析：如图1设代表力F₁、代表力F₂，则本题实际上是求与的和向量的长度，则余弦定理||²＝||²+||²－2||·||cos∠OF₁G＝4+16－2·2·4·＝28.∴||＝2，故选A.

图1

答案：A

2．(2009·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，+＝2，则

(　)

A.+＝0　 　　　　　　　　B.+＝0

C.+＝0　 　　　　　　　　D.++＝0

解析：∵+＝2，∴－+－＝－2，即+＝0.

答案：B

1．(2009·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka+b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么

(　)

A．k＝1且c与d同向　　　　 B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向 　　　　D．k＝－1且c与d反向

解析：∵c∥d且a，b不共线，

∴存在唯一实数λ使c＝λd.

∴ka+b＝λa－λb，

∴∴故选D.　 　　　　　　　　　　　　　　

答案：D

13．(20分)(2009·石家庄一模)在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝+1.

(1)求·；

(2)设△ABC的外心为O，若＝m+n，求m，n的值．

解：(1)由余弦定理知：cosA＝＝，

∴·＝||·||cosA＝(+1)·＝+1.

(2)由＝m+n，

知

∴

∵O为△ABC的外心，

∴·＝||·||cos∠BAO

＝||·||·1,2AB,\s\up6(→＝(+1)².

同理，∴·＝1.

即　 　　　　　　　　　　　　　　

解得：

12．(15分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a+b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b及△AOB的面积．

解：∵⊥，∴·＝0，

即(a－b)·(a+b)＝0，∴|a|²－|b|²＝0，

∵|a|＝1，∴|b|＝1.

又||＝|－|＝|2b|＝2，

∴||＝||＝，

即|a+b|＝|a－b|＝，∴a·b＝0.

设b＝(x，y)，则由

解得b＝(，)或(－，－)，

S_△AOB＝||||＝()²＝1.

11．(15分)已知向量a＝e₁－e₂，b＝4e₁+3e₂，其中e₁＝

(1,0)，e₂＝(0,1)．

(1)试计算a·b及|a+b|的值；

(2)求向量a与b夹角的大小．

解：由已知a＝(1，－1)，b＝(4,3)．

(1)a·b＝1×4+(－1)×3＝1，

∵a+b＝(1，－1)+(4,3)＝(5,2)，

∴|a+b|＝＝.

(2)设a，b夹角为θ，

则cosθ＝＝＝，

又θ∈[0，π]，∴θ＝arccos.