1．若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－1，则a₄等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．8

C．9　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．17

解析：∵S_n＝n²－1，∴a₄＝S₄－S₃＝16－1－(9－1)＝7.

答案：A

13．(20分)(2009·全国卷Ⅰ)在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝(1+)a_n+.

(1)设b_n＝，求数列{b_n}的通项公式；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

解：(1)由已知得b₁＝a₁＝1，且＝+，

即b_n+1＝b_n+，

从而b₂＝b₁+，

b₃＝b₂+，

…

b_n＝b_n－1+(n≥2)，

于是b_n＝b₁+++…+＝2－(n≥2)．

又b₁＝1，故所求数列{b_n}的通项公式为b_n＝2－.

(2)由(1)知a_n＝n(2－)＝2n－.

令T_n＝，则2T_n＝，

于是T_n＝2T_n－T_n＝－＝4－.

又(2k)＝n(n+1)，所以S_n＝n(n+1)+－4.

12．(15分)已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁＝2,2a_n＝1+a_na_n+1，b_n＝a_n－1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n＝S_2n－S_n.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)求证：T_n+1>T_n；

解：(1)由b_n＝a_n－1得a_n＝b_n+1，代入2a_n＝1+a_na_n+1，得2(b_n+1)＝1+(b_n+1)(b_n+1+1)，整理，得b_nb_n+1+b_n+1－b_n＝0，从而有－＝1，∵b₁＝a₁－1＝2－1＝1，

∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴＝n，即b_n＝.

(2)∵S_n＝1++…+，

∴T_n＝S_2n－S_n＝++…+，

T_n+1＝++…+++，

T_n+1－T_n＝+－>+－＝0，(∵2n+1<2n+2)

∴T_n+1>T_n.

11．(15分)求和：(1)++…+.

(2)+++…+.

解：(1)∵＝(－)

∴原式＝(1－)+(－)+…+(－)＝(1－+－+…+－)

＝(1－)＝.

(2)∵＝＝－

∴原式＝－+－+…+－

＝1－.

10．(2010·重庆质检二)设数列{a_n}为等差数列，{b_n}为公比大于1的等比数列，且a₁＝b₁＝2，a₂＝b₂，＝，令数列{c_n}满足c_n＝，则数列{c_n}的前n项和S_n等于________．

解析：设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q(q>1)，

∵＝，∴a₄＝b₃，∴2+3d＝2q²①，由a₂＝b₂，得：2+d＝2q②，

由①②得d＝2，q＝2，∴a_n＝2+(n－1)·2＝2n，b_n＝2·2^n－1＝2ⁿ.∴c_n＝＝n·2ⁿ，∴S_n＝c₁+c₂+…+c_n＝1·2+2·2²+…+n·2ⁿ③

∴2S_n＝1·2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹④，③－④得：－S_n＝2+(2²+2³+…+2ⁿ)－n·2ⁿ⁺¹＝－n·2ⁿ⁺¹＝(1－n)·2ⁿ⁺¹－2，

∴S_n＝(n－1)2ⁿ⁺¹+2.

答案：(n－1)2ⁿ⁺¹+2

9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝2^n－1+1，则a₁C+a₂C+a₃C+…+a_n+1C＝________.

解析：a₁C+a₂C+…+a_n+1C＝(2⁰+1)C+(2¹+1)C+(2²+1)C+…+(2ⁿ+1)C＝2⁰C+2¹C+2²C+…+2ⁿC+C+C+…+C＝(2+1)ⁿ+2ⁿ＝3ⁿ+2ⁿ.

答案：2ⁿ+3ⁿ

8．数列，，，…的前n项和等于________．

解析：a_n＝＝

∴S_n＝

＝＝－.

答案：－

7．数列{a_n}的通项公式为a_n＝n+2ⁿ(n＝1,2,3，…)，则{a_n}的前n项和S_n＝__________.

解析：由题意得数列{a_n}的前n项和等于(1+2+3+…+n)+(2+2²+2³+…+2ⁿ)＝+＝+2ⁿ⁺¹－2.

答案：+2ⁿ⁺¹－2

6．(2009·江西高考)数列{a_n}的通项a_n＝n²(cos²－sin²)，其前n项和为S_n，则S₃₀为

(　)

A．470　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．490

C．495　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．510

解析：a_n＝n²·cosπ，a₁＝1²·(－)，a₂＝2²(－)，a₃＝3²，a₄＝4²(－)，

…

S₃₀＝(－)(1²+2²－2·3²+4²+5²－2·6²+…+28²+29²－2·30²)＝(－)(3k－2)²+(3k－1)²－2·(3k)²]＝(－)(－18k+5)＝－[－18·+50]＝470.

答案：A

5．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀>0且S₁₁＝0，若S_n≤S_k对n∈N^*恒成立，则正整数k的构成集合为

(　)

A．{5}　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．{6}

C．{5,6}　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．{7}

解析：由S₁₀>0，且S₁₁＝0得

S₁₀＝>0⇒a₁+a₁₀＝a₅+a₆>0

S₁₁＝＝0⇒a₁+a₁₁＝2a₆＝0，故可知{a_n}为递减数列且a₆＝0，所以S₅＝S₆≥S_n，即k＝5或6.

答案：C