8．在等差数列{a_n}中，满足3a₄＝7a₇，且a₁>0，S_n是数列{a_n}前n项的和，若S_n取得最大值，则n＝__________.

解析：设公差d，由题设3(a₁+3d)＝7(a₁+6d)，

所以d＝－a₁<0.

解不等式a_n>0，即a₁+(n－1)(－a₁)>0，所以n<，则n≤9，

当n≤9时，a_n>0，同理可得n≥10时，a_n<0.

故当n＝9时，S_n取得最大值．

答案：9

7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．

解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34685，解得a＝4955，∴2a＝9910，即该君第二日读的字数为9910.

答案：9910

6．已知数列{a_n}的通项公式a_n＝3n²－(9+a)n+6+2a(其中a为常数)，若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，则实数a的取值范围是

(　)

A．[24,36]

B．[27,33]

C．{a|27≤a≤33，a∈N^*}

D．{a|24≤a≤36，a∈N^*}

解析：设f(x)＝3x²－(9+a)x+6+2a，其对称轴为x＝，当≤≤时，即24≤a≤36时，a₆与a₇至少有一项是a_n的最小值．

答案：A

5．(2009·河南郑州一模)数列{a_n}中，a₁＝1，a_n，a_n+1是方程x²－(2n+1)x+＝0的两个根，则数列{b_n}的前n项和S_n等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：∵a_n，a_n+1是方程x²－(2n+1)x+＝0的两个根，

∴a_n+a_n+1＝2n+1，a_n·a_n+1＝.

∴b_n＝.

又a₁＝1，∴a₂＝2，a₃＝3，…，a_n＝n.

∴S_n＝b₁+b₂+…+b_n＝++…+

＝1－+－+…+－

＝1－＝.

答案：B

4．(2009·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a_n}的前20项的和为100，那么a₇·a₁₄的最大值为

(　)

A．25　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．50

C．100 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不存在

解析：由S₂₀＝100得a₁+a₂₀＝10，∴a₇+a₁₄＝10.

又a₇>0，a₁₄>0，

∴a₇·a₁₄≤()²＝25.

答案：A

3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是

(　)

A．1994　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1996

C．1998　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2000

解析：设出齐这套书的年份是x，

则(x－12)+(x－10)+(x－8)+…+x＝13958，

∴7x－＝13958，

x＝2000.

答案：D

2．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log_m(ab)<1，则m的取值范围是

(　)

A．(0,1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1，+∞)

C．(0,8)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(8，+∞)

解析：∵a，b，a+b成等差数列，

∴2b＝2a+b，b＝2a.①

∵a，b，ab成等比数列，

∴a≠0，b≠0，且b²＝a²b，b＝a².②

由①②知a²＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.

∵0<log_m(ab)＝log_m8<1，∴m>8.

答案：D

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－1，则此数列的奇数项的前n项和是

(　)

A.(2ⁿ⁺¹－1)　 　　　　　　　　　　　　　 B.(2ⁿ⁺¹－2)

C.(2²ⁿ－1)　 　　　　　　　　　　　　　　 D.(2²ⁿ－2)

解析：由S_n＝2ⁿ－1，得a_n＝2^n－1，

∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．

∴此数列的奇数项的前n项和为＝＝(2²ⁿ－1)．

答案：C

13．(20分)已知一次函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象为C，且f(1)＝0，若点A(n，)(n∈N^*)在C上，a₁＝1，当n≥2时，－＝1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设S_n＝+++…+，求S_n.

解：(1)依题意C过点(0,1)，所以设C方程为y＝kx+1，因为点A(n，)(n∈N^*)在C上，所以＝kn+1，

代入－＝1，得k＝1，所以＝n+1，

∴＝n，＝n－1，…，＝2，且a₁＝1，

各式相乘得a_n＝n！.

(2)∵＝＝＝－，

∴S_n＝－+－+…+－＝－，即S_n＝.

12．(15分)已知数列{a_n}的通项a_n＝(n+1)·ⁿ(n∈N^*)，试问该数列{a_n}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．

解：易知a₁不是数列{a_n}中的最大项，

∴a_n若取最大值应满足(n≥2)，由已知a_n＝(n+1)·ⁿ，则有

a_n－a_n+1＝(n+1)·ⁿ－(n+2)·ⁿ⁺¹

＝ⁿ·＝ⁿ·.

由a_n－a_n+1≥0，即ⁿ·≥0，

解不等式，得n≥8.

a_n－a_n－1＝(n+1)·ⁿ－(n－1+1)·^n－1

＝^n－1·＝^n－1·，

由a_n－a_n－1≥0，即^n－1·≥0，

解不等式，得n≤9.

∴同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8、9.

又a₈＝9×⁸，a₉＝10×⁹，即a₈＝a₉＝.

∴当n＝8或n＝9时，a₈，a₉两项都是数列{a_n}中的最大项．