157.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

　 　　 (Ⅰ)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

　　 (Ⅱ)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

证明：(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

　　　　 ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.………………………………3分

　　　　 又

　　　　 ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　　 ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴

由AB²=AE·AC 得

故当时，平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分

156. 有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．

(1)求BD的距离；

(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分．

解析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A₁BCD₁，则BD恰好是长方体的一条对角线．

(1)解：因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，

．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)证明：因为AD EF，EF BC，所以AD BC．

所以ACBD在同一平面内，

且四边形ABCD为平行四边形．

所以AC、BD交于一点且被这点平分

155. 已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A-BCD的体积最大时，求二面角B-AC-D的余弦值．

解析：如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道

(1)BED即二面角B-AC-D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

(2)当AF面BCD时，V_A-BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

这时ED²=AD²-AE²=1-AE²=1-=1-

=1-，

又 BE²=ED²，

∴ cos．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

　　 　　　　　　　　　　 　　　 A　　　　　　

　　 　　　　　　　E

B　　 　　　　 F　　　 　　　　D　　　

　　 　　　　　　　　C

153. 已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问

　 BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.

解析：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点．

当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分

当0<a<1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．．

　 154. 如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

　 (Ⅰ)求证：直线BC₁//平面AB₁D；

　 (Ⅱ)求二面角B₁-AD-B的大小；

　 (Ⅲ)求三棱锥C₁-ABB₁的体积.

(Ⅰ)证明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四边形BDB₁C₁是平行四边形， ∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直线BC₁//平面AB₁D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁， ∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角，　 ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，

在Rt△B₁BE中，∴∠B₁EB=60°。即二面角B₁-AD-B的大小为60°…………10分

(Ⅲ)解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=

　即三棱锥C₁-ABB₁的体积为…………15分

　 解法二：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

　　　　 即为三棱锥C₁-ABB₁的体积．

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________．

解析：如图中，截面ACD₁和截面ACB₁均符合题意要求，这样的截面共有8个；

150. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a<b，E、F分别是

　 AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，

当时，二面角C-EF-B的平面角的余

弦值等于　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．0　　 B．　 　 C．　　 D．

解析：由图可知　 CE=BE=　 当时，CB=。 　为所求平面角，由余弦定理得cos。 选(C)。

148. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BC--C的大小。 　 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。 149. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥-的体积为　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　 A. 　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　 D.

D

解析：取BD的中点为O，BD⊥平面OAC，，则=。选D

147. 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一 点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B，当AB=71/2时，求二面角P-AC-B的大小。 　 作法一：∵A-CP-B为直角二面角， ∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。 ∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。 ∴∠DEB为二面角A-CP-B的平面角。 作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。 ∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′， ∴∠D′E′P为二面角P-AC-B的平面角。

146. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABC=90⁰，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。(答案：arctg)

145. 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，点A₁在底面的射影O在AB上，已知侧棱A₁A与底面ABCD成45⁰角，A₁A=a。求二面角A₁-AC-B的平面角的正切值。(答案：)