219. 下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　) 解析：C

218.已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求证：a⊥α。

解析： 此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。

证法1:如图2－57：在α内取一点P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B， 则PA⊥a，PB⊥a，又PAα，PBα，PA∩PB＝P，∴ a⊥α。 证法2：如图2－58，在a上任取一点Q，作QC ⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β， 又β⊥α，∴QCβ，同理可证QCγ，∴QC为β与γ的交线a，∴ a⊥α。 证法3：如图2－59，在a上取点R，在β内作RD垂直于α、β的交线l于D，

∴RD⊥α，同法在γ内，作RE垂直于α，交α与γ的交线m于E，则RE⊥α，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，∴RD、RE重合，则它既包含于β，又包含于γ，

∴ a⊥α。 证法4：如图2－60，在β、γ内分别取M、N分别作α、β的交线l和α、γ的交线m的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。

点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。

217. 判定下列命题的真假 (1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；

(2)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直； (3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。

解析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的， 如图2－55，正方体AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁＝AD， 在AD上取点A，连结AB₁，则AB₁⊥AD，即过棱上一点A的直线AB₁ 与棱垂直，但AB₁与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB₁没有保证在平面ADD₁A₁内，可以看出：线在面内这一条件的重要性； (2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正方体AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A₁，AB平面ABCD，且AB⊥AD₁，即AB与AD₁相互垂直，但AD₁与平面ABCD不垂直； (3)如图2－56：正方体AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁与AC所成的角为60，即AD₁与AC不垂直

　解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。　　

点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。

216.在正方体木块ABCD－A₁B₁C₁D₁的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C₁移动； ⑴点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动； ⑵点P每一变化位置，都使P点到C₁点的距离缩短。 动点P共有_________种不同的运行路线。 解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线(从B到C₁，就有3种不同路线)

经过一条边，一条对角线的情况有6种， ，，

，，

经过三条边的情况有6种：

，，

，，

215. 如图2－22：在长方体AC₁中， (1)求证：BC₁//平行平面AB₁D₁ (2)若E、F分别是D₁C，BD的中点，则EF//ADD₁A₁ 解析：(1)∵D₁C₁DCAB ∴ABC₁D₁是平行四边形 BC₁//AD₁ 又BC₁平面AB₁D₁，又AD₁平面AB₁D₁

BC₁//平面AB₁D₁ (2)证明：连结AF、CF、AD₁， ∵ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线， 且F是AC的中点，又E是CD₁的中点 ∴EF//AD，又EF平面ADD₁A₁，AD平面ADD₁A₁， ∴EF//平面ADD₁A₁

214. 直线a//直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论

　证明：假设直线b与α不相交，则bα或b//α (1)若bα，由a//b，bα，aαa//α，与a与平面α相交矛盾，故bα不可能。 (2)若b//α，又a// b，a，b可以确定平面β，设α∩β＝c，由cα,知b与c没有公共点，又b、c同在平面β内，故b//c，又a//b，故a//c，cα，aαa//α，这与a与平面α相交矛盾。故b不平行α。 综上所述，b与α必相交。

212.如图2－20，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN//平面BCE。

解析： 要证MN//平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。

证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。 由AF//BG，知，故MN//CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN//平面BCE。

点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。 213. 如图2－21，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点， (1)判断BD₁和过A、C、E三点的平面的位置关系， 　并证明你的结论。 (2)求ACE的面积。 证明(1)：连结BD，令BD∩AC＝F。 ∵BD₁和过A、C、E三点的平面平行， 则F是DB的中点，又E是DD₁的中点， ∴EF∥BD₁ 又EF平面ACE，BD₁平面ACE， ∴BD₁∥平面ACE (2)在正方形ABCD中，AB＝2，AC＝2，∴AF＝ 在直角△ADE中，AD＝2，DE＝1，∴AE＝

在Rt△EAF中，EF＝＝＝ ∴

211. 下列说法中正确的是(　)： A. 直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//α B. 若直线a在平面α外，则a//α C. 若直线a//b，直线bα，则a//α D. 若直线a//b，bα，那么a就平行于平面α内的无数条直线

解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。

解答: 由直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除A 直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除B 直线a//b ，bα只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除C a//b，bα，那么aα或a//α，故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择D

点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。　　　　 。

210. 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。 (已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ。) 解析：如图2－　，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f

209. 长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB₁与A₁D所成的角为α，AC与BC₁所成的角为β，A₁C₁与CD₁所成的角为γ。 求证：α+β+γ＝π

解析：作如图的辅助线 则∠AB₁C为AB₁与A₁D所成的角∠AB₁C＝α ∵ABA₁B₁C₁D₁ ∴BC₁//AD₁，故∠D₁AC为AC与BC₁所成的角∠D₁AC＝β ∵AA₁DD₁CC₁，∴A₁C₁//AC ∴∠D₁CA即为A₁C₁与CD₁所成的角∠D₁CA＝γ 在△ACD₁和△ACB₁中，AB₁＝CD₁，B₁C＝D₁A，AC＝CA ∴△ACD₁≌△CAB₁，故∠AB₁C＝∠AD₁C，故∠AD₁C＝α 在△AD₁C中，∠AD₁C+∠D₁CA+∠D₁AC＝π 即：α+β+γ＝π