229.如图:在正方体ABCD-EFGH中,M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点,求证:平面MNP//平面QRS。
解析:先证明SR//BD,BD//HF,HF//NP,
∴SR//平面MNP,再证RO//平面MNP,
从而证明平面MNP//平面QRS
228. 如图:在正方体ABCD-EFGH中,求证:平面AFH//平面BDG。
解析:易证BD//平面AHF,BG//平面AHF,
∴平面BDG//平面AHF。
227.如图2-24:B为ACD所在平面外一点,M、N、G分别为
ABC、
ABD、
BCD的重心,
(1)求证:平面MNG//平面ACD;
(2)求
解析:(1)要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,
则有:
连结PF、FH、PH有MN∥PF,又PF
平面ACD,∴MN∥平面ACD。
同理:MG∥平面ACD,MG∩MN=M,
∴平面MNG∥平面ACD
(2)分析:因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比。
解:由(1)可知,
∴MG=
PH,又PH=
AD,∴MG=
AD
同理:NG=
AC,MN=
CD,
∴
MNG∽
ACD,其相似比为1:3,
∴
=1:9
点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
226. 如图2-23:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面AB1D1//平面BDC1。
解析:要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知,须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线
证明:∵ABC1D1,C1D1
A1B1,∴AD1//BC1∴AB
A1B1,
∴四边形ABC1D1为平行四边形,又AD1
平面AB1D1,BC1
平面AB1D1,∴BC1//平面AB1D1,同理,BD//平面AB1D1,又BD∩BC1=B,
∴平面AB1D1//平面BDC1。
点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以关键是证线线平行。
225.如图2-32:平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB
(1)求证:EFGH是矩形
(2)点E在什么位置时,EFGH的面积最大
(1)证明:∵CD//平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF
∴CD//EF,同理HG//CD,∴EF// HG,同理HE//GF,
∴四边形EFGH为平行四边形,由CD//EF,HE// AB,
∴∠HEF为CD和AB所成的角
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF
∴四边形EFGH为矩形
(2)解:由(1)可知在
BCD中EF//CD,设DE=m,EB=n
224. 如图2-31:设a、b是异面直线,A∈a,B∈b,AB⊥a,AB⊥b,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上任意两点,MN与α交于点P,
求证:P是MN的中点。
证明:连结AN,交平面α于点Q,连结PQ,OQ。
∵ b//α,b
平面ABN,平面ABN∩α=OQ,
∴b// OQ,又O为AB有中点,∴Q为AN的中点。
∵a//α,a
平面AMN,平面AMN∩α=PQ,
∴a// PQ,
∴P是MN的中点。
223. 如图2-29:四面体A-BCD被一平面所截,截面EFGH是一个矩形,
(1)求证:CD//平面EFGH;
(2)求异面直线AB、CD所成的角。
证明:(1)∵截面EFGH是一个矩形,
∴EF//GH,又GH
平面BCD
∴EF//平面BCD,而EF
平面ACD,面ACD∩面BCD=CD
∴EF// CD,∴CD//平面EFGH
解:(2)则(1)知EF// CD,同理AB//FG,
由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。
∴AB、CD所成的角为90°
222. 求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行。 已知:如图:a//α,a//β,α∩β=b,求证:a//b
解析: 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。
证明: 如图2-28,过a作平面γ、δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有
点评: 本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。
221. 如图2-63,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ。α∩γ=a,β∩γ=b且a∥b,求证α∥β。
证明:在平面γ内作直线c⊥a,
∵a∥b,∴c⊥b。
∵α⊥γ,∴c⊥α,
又∵β⊥γ,∴c⊥β,
∴α∥β
220. 如图,将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则A与C之间的距离为___________。
解析:a
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