242.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=(1)求MN的长；

(2)当为何值时，MN的长最小；　 (3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

解析：(1)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴,, 即,

∴

(2)由(1)知: ，

(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，

∴∠AGB即为二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有

。故所求二面角。

241. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD面AC，PD=AD=，设点C到面PAB的距离为d₁，点B到平面PAC的距离为d₂，则(　　　 )

(A) <d₁ <d₂(B)d₁< d₂<(C)d₁<< d₂(D)d₂<d₁<

解析：，，故d₂<d₁<，选D。

240. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、L、M、N分别是A₁D₁、A₁B₁、BC、CD、DA、DE、CL的中点，(1)求证：EFGF；(2)求证：MN//平面EFGH；(3)若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。

解：(1)证：取B₁C₁中点Q，则GQ面A₁B₁C₁D₁，且EFFQ，由三垂线定理得EFGF；

(2)在三角形DEG中，MN//EG，由此可证MN//平面EFGH；

(3)设所求距离为h，由V_E-NGH=V_N-HEG，得，又，，EL=2，故。

239.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，

PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。

求：点B到平面PEF的距离。

解析：由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。

方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，

作OH⊥PG，H为垂足。

∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，

∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，

∵EFÌ面PEF，∴面PEF⊥面PCG，

∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。

由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=，

∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，

∴△OHG∽△PCG，∴,

由PC=2，PG=

∴OH==

即点B到平面PEF的距离为。

方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，

由V_P-BEF=S_△BEF·PC

=××BE×AF×PC

=×1×1×2=

连AC交EF于G,连PG,由方法一知

PG=,EF=,S_△PEF=××=

∴V_B-PEF=·S_△PEF·d=V_P-BEF=,

∴d=1 d=

即点B到平面PEF的距离为。

238. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。

求：P、Q两点间的距离。

解析：如图，作QE⊥面PAB，

QM⊥面PBC，QH⊥面PAC，E、M、N为垂足。

由PA、PB、PC两两垂直，所以PC⊥面PAB，PB⊥面PAC，

PA⊥面PBC，可得三个侧面两两垂直。

设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。

∴PQ===7。

237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于　　　　　　　(　) A. 27　　 B. 21　　　 C. 18　　 D.9

解析：A

如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共93=27个部分。

236. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁中点，O为底面ABCD中心， 求证：B₁O⊥平面PAC。

证明：如图：连结AB₁，CB₁，设AB＝1 ∵AB₁＝CB₁＝，AO＝CO，∴B₁O⊥AC， 连结PB₁，∵ ∴ ∴B₁O⊥PO， ∴B₁O⊥平面PAC。

233. 如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

8 解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD 可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共8个。 234. 如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥AC 证明：设BD的中点为K，连结AK、CK， ∵AB＝AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD 同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K ∴BD⊥平面AKC ∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 235. 如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。 求证：H是ABC的垂心。 　

　证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC， ∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH ∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB， 因此H是△ABC的垂心。

232.如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径， C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E　， 求证：AE⊥平面PBC。 　证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE ∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。

231.如图2－35：在空间四边形ABCD中，已知BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。

解析： 要证AH⊥平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。

证明:取AB中点F，连结CF、DF， ∵AC＝BC，∴CF⊥AB， 又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF， 又CD平面CDF，∴CD⊥AB 又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH 又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。

点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面α内的任何直线，则a⊥α，反之，若a⊥α，则a垂直于平面α内的任何直线。