242.如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=(1)求MN的长;
(2)当为何值时,MN的长最小; (3)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角
的大小。
解析:(1)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连接PQ,依题意可得MP∥NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴,
, 即
,
∴
(2)由(1)知: ,
(3)取MN的中点G,连接AG、BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,
∴∠AGB即为二面角α的平面角。又,所以由余弦定理有
。故所求二面角
。
241. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点,PD面AC,PD=AD=
,设点C到面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则( )
(A) <d1
<d2(B)d1<
d2<
(C)d1<
<
d2(D)d2<d1<
解析:
,
,故d2<d1<
,选D。
240. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、L、M、N分别是A1D1、A1B1、BC、CD、DA、DE、CL的中点,(1)求证:EFGF;(2)求证:MN//平面EFGH;(3)若AB=2,求MN到平面EFGH的距离。
解:(1)证:取B1C1中点Q,则GQ面A1B1C1D1,且EF
FQ,由三垂线定理得EF
GF;
(2)在三角形DEG中,MN//EG,由此可证MN//平面EFGH;
(3)设所求距离为h,由VE-NGH=VN-HEG,得,又
,
,EL=2,故
。
239.已知:如图,ABCD是边长为2的正方形,
PC⊥面ABCD,PC=2,E、F是AB、AD中点。
求:点B到平面PEF的距离。
解析:由BD∥EF可证DB∥平面PEF,则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF,故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。
方法一:连接DB,AC交于O点,设AC交EF于G,连PG,
作OH⊥PG,H为垂足。
∵E、F是AB、AD中点,∴EF∥DB,∴DB∥面PEF,
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∴EF⊥AC,
∵PC⊥面ABCD,∴EF⊥PC,∴EF⊥面PCG,
∵EFÌ面PEF,∴面PEF⊥面PCG,
∵OH⊥PG,∴OH⊥面PEF,即OH为所求点B到平面PEF的距离。
由ABCD边长为2,∴AC=2,GO=
,GC=
,
∵PC⊥面ABCD,∴PC⊥AC,
∴△OHG∽△PCG,∴,
由PC=2,PG=
∴OH==
即点B到平面PEF的距离为。
方法二:如图,连接BF、PB,设点B到平面PEF的距离为d,
由VP-BEF=
S△BEF·PC
=×
×BE×AF×PC
=×1×1×2=
连AC交EF于G,连PG,由方法一知
PG=,EF=
,S△PEF=
×
×
=
∴VB-PEF=·S△PEF·d=VP-BEF=
,
∴d=1
d=
即点B到平面PEF的距离为。
238. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2,3,6。
求:P、Q两点间的距离。
解析:如图,作QE⊥面PAB,
QM⊥面PBC,QH⊥面PAC,E、M、N为垂足。
由PA、PB、PC两两垂直,所以PC⊥面PAB,PB⊥面PAC,
PA⊥面PBC,可得三个侧面两两垂直。
设平面QEM与PB交于F,平面QEH与PA交于G,平面MQH与PC交于N,连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM,可证明QMNH-EFPG是长方体。
∴PQ==
=7。
237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分,m应等于 ( ) A. 27 B. 21 C. 18 D.9
解析:A
如果将正方体各个面延展,可视为将空间分成三个层面,上面如图标出直角的层面,中间一层,下面一层,而上面一个层面中,又分成九个部分,共9
3=27个部分。
236. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1中点,O为底面ABCD中心, 求证:B1O⊥平面PAC。
证明:如图:连结AB1,CB1,设AB=1
∵AB1=CB1=,AO=CO,∴B1O⊥AC,
连结PB1,∵
∴
∴B1O⊥PO,
∴B1O⊥平面PAC。
233. 如图:BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连结PB、PC,作PD⊥BC于D,连结AD,则图中共有直角三角形_________个。
8
解析:Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。
可证BC⊥平面APD,由BC⊥AD,BC⊥PD
可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC
共8个。
234. 如图:已知ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD
求证:BD⊥AC
证明:设BD的中点为K,连结AK、CK,
∵AB=AD,K为BD中点
∴AK⊥BD
同理CK⊥BD,且AK∩KC=K
∴BD⊥平面AKC
∴BD垂直于平面AKC内的所有直线
235. 如图2-40:P是△ABC所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,H是垂足。
求证:H是ABC的垂心。
证明:∵PA⊥PB,PB⊥PC,
∴PA⊥平面PBC,BC
平面PBC
∴BC⊥PA
∵PH⊥平面ABC,BC
平面ABC
∴BC⊥PH
∴BC⊥平面PAH,AH
平面PAH
∴AH⊥BC,同理BH⊥AC,CH⊥AB,
因此H是△ABC的垂心。
232.如图:已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,
C是异于A、B的⊙O上任意一点,过A作AE⊥PC于E ,
求证:AE⊥平面PBC。
证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC
而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC
又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE
∵PC⊥AE且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC。
231.如图2-35:在空间四边形ABCD中,已知BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH⊥平面BCD。
解析: 要证AH⊥平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。
证明:取AB中点F,连结CF、DF,
∵AC=BC,∴CF⊥AB,
又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF,
又CD平面CDF,∴CD⊥AB
又CD⊥BE,∴CD⊥平面ABE,CD⊥AH
又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD。
点评:证明线面垂直,需转化为线线垂直,而线线垂直,又可通过证线面垂直来实现。在这里,定义可以双向使用,即直线a垂直于平面α内的任何直线,则a⊥α,反之,若a⊥α,则a垂直于平面α内的任何直线。
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