2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

　　　　　 (A)　　　　　 (B)　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

D

解析： A项：底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形

B项： 如图

C项：是个平行四边形

D项：是异面直线。

1、二面角是直二面角，，设直线与所成的角分别为∠1和∠2，则

(A)∠1+∠2=90⁰　　 (B)∠1+∠2≥90⁰　　　　 (C)∠1+∠2≤90⁰　　　 (D)∠1+∠2＜90⁰

解析：C

如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

250.　 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　 )

A.平行　　　　 B.异面　　　　 C.平行或异面　　　　 D.相交或异面

解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.

解法一：设两条异面直线分别为l₁，l₂，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面α，两条平行线与两条异面直线l₁与l₂的四个交点均在α内，则两异面直线l₁与l₂也在α内，这是不可能的.∴应选D.

解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选A、B、C.故选D.

249. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(　　 )

A.12对　　　　 B.24对 　　　　 C.36对　　　　　 D.48对

解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.

解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线，又由共6条侧棱，所以异面直线共6×4＝24对.

解法二：六棱锥的棱所在12条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条，侧棱所在直线也有6条，各取一条配成一对，共6×6＝36对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的6条直线有公共点的都是2条，所以，在36对中不成异面直线的共有6×2＝12对.所以，六棱锥棱所在的12条直线中，异面直线共有36-12＝24对.

248.　 已知：A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂分别是两条异面直线l₁和l₂上的任意三点，M、N、R、T分别是A₁A₂、B₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

证明　 如图，连结MN、NR，则MN∥l₁,NR∥l₂，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l₁∥l₂与条件矛盾).∴　 MN、NR可确定平面β，连结B₁C₂，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l₂，又RN∥l₂，∴　 N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l₁，MN∥l₁，∴MN∥ST，又S∈β，∴　 STβ.

∴　 M、N、R、T四点共面. =2：1

又是正三角形的BD边上的高和中线,∴点G是正三角形的中心.故，即。

证明二：由(I)知，，，

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同的证法可得，　又，所以。　

247.设相交于G.，，且，所以如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求异面直线A₁C₁与BD₁的距离.

解析：本题的关键是画出A₁C₁与BD₁的公垂线，连B₁D₁交A₁C₁于O，在平面BB₁D₁内作OM⊥BD₁，则OM就是A₁C₁与BD₁的公垂线，问题得到解决.

解　 连B₁D₁交A₁C₁于O，作OM⊥BD₁于M.

∴　 A₁C₁⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁C₁，BB₁∩B₁D₁＝B₁.

∴　 A₁C₁⊥平面BB₁D₁.　 ∴　 A₁C₁⊥OM，又OM⊥BD₁.

∴　 OM是异面直线A₁C₁与BD₁的公垂线.

在直角ΔBB₁D₁中作B₁N⊥BD₁于N.

∵　 BB₁·B₁D₁＝B₁N·BD₁，a·a＝B₁N·a，

∴　 B₁N＝a,OM＝B₁N＝a.

故异面直线A₁C₁与BD₁的距离为a.

评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.

246.如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，(1)证明： ；

(II)假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；

(III)当的值为多少时，能使？请给出证明. 解析：(I)证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 可证，，

故，但AC⊥BD，所以，从而；　　　　　　

(II)解：由(I)知AC⊥BD，，是二面角α-BD-β的平面角，在中，BC=2，，，　∵∠OCB=60°，，，故C₁O=，即C₁O=C₁C，作，垂足为H，∴点H是.C的中点，且，所以;

(III)当时，能使

证明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱锥是正三棱锥.，　　　　　　　　　

245.已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是DD₁的中点，且截面EAC与底面ABCD成45⁰角，AA₁=2a，AB=a，(1)设Q是BB₁上一点，且BQa，求证：DQ面EAC；(2)判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？(3)若点M在侧面BB₁C₁C及其边界上运动，并且总保持AMBP，试确定动点M所在的位置。

解析：(1)证：首先易证ACDQ，再证EODQ(O为AC与BD的交点)在矩形BDD₁B₁中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证；

(2)若BP与面EAC平行，则可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD=DD₁=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行；

(3)易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB₁中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上。

244.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, (1)求MN的长(用x,y表示)；(2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。

解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN²=

，在中，MN=

；

(2)MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。

243. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MNAB;　

(3)求MN的最小值.

解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;

(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;

(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=a－x , NP=a－x ,　所以：

　，

故当时，MN有最小值．