254.　 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k.

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

解析：(1)∵　 ＝＝k

∴　 MQ∥BD，且＝

∴　 ＝＝

∴　 MQ＝BD

又　 ＝＝k

∴　 PN∥BD，且＝

∴　 ＝＝从而NP＝BD

∴　 MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.

(2)∵　 ＝，＝

∴　 ＝＝,＝

∴　 MN∥AC，又NP∥BD.

∴　 MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.

∵　 MNPQ是正方形，∴　 ∠MNP＝90°

∴　 AC与BD所成的角为90°，

又AC＝a，BD＝b，＝＝

∴　 MN＝a

又　 MQ＝b,且MQ＝MN，

b＝a，即k＝.

说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

253. 　如图所示，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.

解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.

说明　 异面直线所成角的求法：

利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.

252.　 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AA₁和的中点分别是E、F.

(1)证明EF是AA₁与BD₁的公垂线段；

(2)求异面直线AA₁和BD₁间的距离.

解析：(1)连接ED₁、EB，

则显然ED₁＝EB＝a

又F为BD₁之中点.

∴　 EF⊥BD₁；

连接FA₁，FA.

∵　 F为正方体的中心，

∴　 FA＝FA₁，又E为AA₁之中点，

∴　 EF⊥A₁A.

故EF为AA₁与BD₁的公垂线段.

(2)在RtΔEFD₁中

EF＝＝.

故AA₁到BD₁间的距离是.

评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.

251.　 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.

解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.

证：用反证法.

假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵　 c∥a,　 ∴　 a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵　 bβ，∴　 P∈β.

又∵　 cα，∴　 P∈α.　 ∴　 P∈α∩β而α∩β＝a.

∴　 P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.

综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.

说明　 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，

则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．[]　　　 B．[]　　　　 C．[]　　　 D．[]

解析：D

解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值，故选(D)．

19．线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．等边三角形　　　　　　　　　　　 B非等边的等腰三角形

C．锐角三角形　　　　　　　　　　　 D．钝角三角形

解析：B． 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x²=1²+3²-3=7，y²=1²+2²-2=3，z²=2²+3²-6=7。

∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选(B)．

17．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　 )

解析：C　　 A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：

　 18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．45°　　　　　 B．60°

　　 C．90°　　　　　 D．120°

解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

　　　　　　　　　 ①AB与CD所在直线垂直；　　　　　　 ②CD与EF所在直线平行

　　　　　　　　　 ③AB与MN所在直线成60°角；　　　　 ④MN与EF所在直线异面

　　　　　　　　　 其中正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　　　　　　 A．①③　　　　　 B．①④　　　　　 C．②③　　　 D．③④

解析：D

15．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．相交　　　　　 B．异面　　　　　 C．平行　　　　　 　D． 异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

　 16．在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，AC与B₁D所成的角的大小为　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　 B．

　　 C．　　　　　　 D．

解析：DB₁D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。

14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为(　　 )

　　 A．3　　　　　　　 B．1或2　　　　　 C．1或3　　　　　 D．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

13. 已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是

　　　　　　　 ．

解析：(1)成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；(2)成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，(4)成立，当m、n所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n距离相等的点