297. 如图9-37,两条异面直线AB、CD与三个平行平面a 、b 、g 分别相交于A、E、B,及C、F、D,又AD、BC与平面b 的交点为H、G.求证:EHFG为平行四边形.
解析:
296. 如图9-35,平面a ∥平面b ,△ABC、△的分别在a 、b 内,线段、、相交于点O,O在a 、b 之间.若AB=2,AC=1,∠ABC=60°,OA∶=3∶2,则△的面积为________.
解析:图9-35
∵ ,∴ 、确定平面,平面∩a =AB,平面,∵ a ∥b ,∴ ,同理,.由于方向相反,∴ △ABC与△的三内角相等,∴ △ABC∽△.且. ∵,∴
295. 已知空间不共面的四个点,与此四个点距离都相等的平面有________个.
解析:与不共面的四个点距离相等的平面分为两类,一类是四个点中一个点位于平面的一侧,另外三个点在平面的另一侧,这样的平面有4个;另一类是四个点中的两个点位于平面一侧,另外两个点在平面的另一侧,这样的平面有3个,故一共7个平面到这四个点距离相等.
294. 已知AC,BD是夹在两平行平面a 、b 间的线段,A∈a ,B∈a ,C∈b ,D∈b ,且AC=25cm,BD=30cm,AC、BD在平面b 内的射影的和为25cm,则AC、BD在平面b 内的射影长分别为________,AC与平面b 所成的角的正切值为________,BD与平面b 所成的角的正切值为________.
解析:设a 、b 间的距离为h,AC在平面b 内的射影,BD在平面b 内的射影,根据已知条件可得②-①得,即
,把③代入得y-x=11,∴ 解得即,.又h=24cm,AC与平面b 所成的角为,
,同理
293. 平面a ∥平面b ,过平面a 、b 外一点P引直线PAB分别交a 、b 于A、B两点,PA=6,AB=2,引直线PCD分别交a 、b 于C、D两点.已知BD=12,则AC的长等于( ).
A.10 B.9 C.8 D.7
解析:B.如图答9-32,平面PBD∩a =AC,平面PBD∩b =BD,∵ a ∥b ,∴ AC∥BD.由平面几何知识知,.∵ PA=6,AB=2,BD=12,∴ ,∴ AC=9.
292. 设a 、b 是两个平面,l和m是两条直线,那么a ∥b 的一个充分条件是( ).
A.la ,ma ,且l∥b ,m∥b B.la ,mb ,且l∥m
C.l⊥a ,m⊥b ,且l∥m D.l∥a ,m∥b ,且l∥m
解析:C.可参看图答9-31.
图答9-31
291. 给出下列命题,错误的命题是( ).
A.若直线a平面a ,且a ∥平面b ,则直线a与平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离
B.若平面a ∥平面b ,点A∈a ,则点A到平面b 的距离等于平面a 、b 间的距离
C.两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
D.两条异面直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
解析:C.以下按顺序说明,对A中,在a上任取一点P,作PH⊥b ,PH为直线a与平面b 的距离.∵ a ∥b ,PH⊥a ,∴ PH又为a 、b 间的距离.对于B,作AH⊥b ,AH的长为点A到b 的距离.又∵ a ∥b ,∴ AH⊥a ,于是AH的长是a 、b 两个平行平面间的距离.
对于C,设a∥b,aa ,bb ,过a上任一点P作PQ⊥b于Q,则PQ的长为a、b两平行直线间的距离.因为PQ与a 、b 不一定垂直,所以PQ的长一般不是a 、b 间的距离,一般地说,a、b间的距离不小于a 、b 间的距离.
对于D.设是异面直线a、b的公垂线段,A∈a,,aa ,bb ,过A和b的平面与a 相交于,则,于是.∴ .同理 .故的长又是a 、b 两个平面间的距离(如图答9-30).
279. 在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)
(1)求点C′到平面AB′C的距离;(2)求二面角B-B′C-A的余弦值.
解析:(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC平面AB′C,∴A′C′∥平面AB′C,于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离,作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′,∴A′M⊥平面AB′C,A′M的长是A′到平面AB′C的距离.
∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC=,AB′=,A′M==.即C′到平面AB′C的距离为;
(2)作AN⊥BC于N,则AN⊥平面B′BCC′,作NQ⊥B′C于Q,则AQ⊥B′C,∴∠AQN是所求二面角的平面角,AN==,AQ==1.∴sin∠AQN==,cos∠AQN=.
说明 利用异面直线上两点间的距离公式,也可以求二面角的大小,如图,AB=BB′=1,∴AB′=,又∠B′CB=30°,
∴BC=,B′C=2,AC=.作AM⊥B′C于M,BN⊥B′C于N,则AM=1,BN=,
CN=,CM=1,∴MN=.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ==.
280 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠A=60°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E是PA的中点.
(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.
解析:(1)设O是AC,BD的交点,连结EO.
∵ABCD是菱形,∴O是AC、BD的中点,
∵E是PA的中点,∴EO∥PC,又PC⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD,EO平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.
(2)EO∥PC,PC平面PBC,
∴EO∥平面PBC,于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.
作OF⊥BC于F,
∵EO⊥平面ABCD,EO∥PC,PC平面PBC,∴平面PBC⊥平面ABCD,于是OF⊥平面PBC,OF的长等于O到平面PBC的距离.
由条件可知,OB=,OF=×=a,则点E到平面PBC的距离为a.
(3)过O作OG⊥EB于G,连接AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE
∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角
∵OE=PC=a,OB=a ∴EB=a.∴OG==a 又AO=a.
∴tan∠AGO==∴∠AGO=arctan.
评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用.
278. 如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=SC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
解法一:由于SB=BC,且E是SC中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥平面BDE,∴SC⊥BD,
又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.
而SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC.
∵DE=平面SAC∩平面BDE,DC=平面SAC∩平面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA=a,则AB=a,BC=SB=a.
又AB⊥BC,所以AC=a.在RtΔSAC中tg∠ACS==,所以∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥平面BDE,SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以,AC是SC在平面ABC上的射影,由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又E∈SC,AC是SC在平面内的射影,所以E在平面ABC内的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC内的射影在AC上,根据三垂线定理得BD⊥DE.
∵DE平面BDE,DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.
277. 如图,四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是,求:二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.
解析:(1)取BD的中点O,连AO、OC.在ΔABD中,∵AB=AD=,BD=2,
∴ΔABD是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理OC⊥BD.
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角
又AO=OC=1,AC=,∴∠AOC=90°.即二面角A-BD-C为直二面角.
(2)∵二面角A-BD-C是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面BCD.
∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.
∵SΔOCB=,SΔABC=,∴cosθ=.即二面角A-BC-D的大小是arccos.
(3)取AC的中点E,连BE、DE.∵AB=BC,AD=DC,
∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED就是二面角的平面角.
在ΔBDE中,BE=DE=,由余弦定理,得cosα=-
∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.
评析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函数值,或利用面积的射影公式S′=S·cosθ求得.
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