317.　 如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D₁，F₁分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，若BC＝CA＝CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是(　　 )

A.　　　　 B.　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

解　 连D₁F₁，则D₁F₁⊥A₁C₁，又BC⊥CA，所以BD₁在平面ACC₁A₁内的射影为CF₁，设AC＝2a，则BC＝CC₁＝2a.取BC的中点E，连EF₁，则EF∥BD₁.

∴cosθ₁＝cos∠EF₁C＝＝＝，

cosθ₂＝cos∠AF₁C＝＝，

∴　 cosθ＝cosθ₁·cosθ₂＝·＝，应选A.

316.　 如图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁，面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是 　　　　(要求：把可能的图的序号都填上)

解　 ∵四边形BFD₁E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为②.故应填②③.

315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.

已知：∠ABCα,Pα,∠PBA＝∠PBC,PQ⊥α，Q∈α，如图.

求证：∠QBA＝∠QBC

证：PR⊥AB于R，PS⊥BC于S.

则：∠PRB＝∠PSB＝90°.

∵PB＝PB.∠PBR＝∠PBS

∴RtΔPRB≌RtΔPSB

∴PR＝PS

∵点Q是点P在平面α上的射影.

∴QR＝QS

又∵QR⊥AB，QS⊥BC

∴∠ABQ＝∠CBQ

314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.

已知：a∥b，a∩α＝A₁,b∩β＝B₁，∠θ₁、∠θ₂分别是a、b与α所成的角.如图，求证：∠θ₁＝∠θ₂.

证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA₁＝BB₁，连结AB和A₁B₁.

∵AA₁∥BB₁

∴四边形AA₁B₁B是平行四边形.∴AB∥A₁B₁

又A₁B₁α　 ∴AB∥α.

设AA₂⊥α于A₂，BB₂⊥α于B₂，则AA₂＝BB₂

在RtΔAA₁A₂与中　 AA₂＝BB₂，AA₁＝BB₁

∴RtΔAA₁A₂≌RtΔBB₁B₂

∴∠AA₁A₂＝∠BB₁B₂

即　 ∠θ₁＝∠θ₂.

313..已知：α∩β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，求证：CD⊥AB.

312.　 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求A₁C₁和平面AB₁C间的距离.

解法1　 如图所示，A₁C₁∥平面AB₁C，又平面BB₁DD₁⊥平面AB₁C.

故若过O₁作O₁E⊥OB₁于E，则OE₁⊥平面AB₁C，O₁E为所求的距离

由O₁E·OB₁＝O₁B₁·OO₁，

可得：O₁E＝

解法2：转化为求C₁到平面AB₁C的距离，也就是求三棱锥C₁-AB₁C的高h.

由　 V＝V，可得h＝a.

解法3　 因平面AB₁C∥平面C₁DA₁，它们间的距离即为所求，连BD₁，分别交B₁O、DO₁与F、G(图中未画出)。易证BD₁垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得

FG＝.

点评　 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

311.　 如图，在棱长为a的正方体AC₁中，M是CC₁的中点，点E在AD上，且AE＝AD，F在AB上，且AF＝AB，求点B到平面MEF的距离.

解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF∥BD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC⊥面MEF，而MR是交线，所以作OH⊥MR，即OH⊥面MEF，OH即为所求.

∵OH·MR＝OR·MC，

∴OH＝.

解法二：考察三棱锥B-MEF，由V_B-MEF＝V_M-BEF可得h.

点评　 求点面的距离一般有三种方法：

①利用垂直面；

②转化为线面距离再用垂直面；

③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.

310.　 平面α内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NH⊥SB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?

解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.

解　 (1)连AM，BM.∵AB为已知圆的直径，如图所示.

∴AM⊥BM，

∵SA⊥平面α，MBα，

∴SA⊥MB.

∵AM∩SA＝A，∴BM⊥平面SAM.

∵AN平面SAM，

∴BM⊥AN.

∵AN⊥SM于N，BM∩SM＝M，

∴AN⊥平面SMB.

∵AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影

∴NH⊥SB.

(2)由(1)知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM.AN⊥平面SMB.

∵SB⊥AH且SB⊥HN.

∴SB⊥平面ANH.

∴图中共有4个线面垂直关系

(3)∵SA⊥平面AMB，

∴ΔSAB、ΔSAM均为直角三角形.

∵BM⊥平面SAM，∴ΔBMA，ΔBMS均为直角三角形.

∵AN⊥平面SMB.∴ΔANS、ΔANM、ΔANH均为直角三角形.

∵SB⊥平面AHN.　 ∴ΔSHA、ΔBHA、ΔSHN均为直角三角形

综上所述，图中共有10个直角三角形.

(4)由SA⊥平面AMB知：SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM；

由BM⊥平面SAM知：BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN；

由AN⊥平面SMB知：AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH；

SB⊥平面AHN知：SB⊥AH，SB⊥HN；

综上所述，图中有11对互相垂直的直线.

309.　 在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.

解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.

解　 (1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC.

∴BH⊥BC，AH⊥AC

∵AC⊥BC，∴平行四边形ACBH为矩形.

∵HC⊥AB，∴ACBH为正方形.

∴HB＝HA

∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA.

∴∠PBH＝∠PAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为∠PBH，∠PAH.由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，与∠PBH＝∠PAH矛盾.

∴PC不垂直于AB.

(2)由已知有PH＝h,∴∠PBH＝45°

∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°，∴HA＝h.

∴矩形ACBH中，AB＝＝＝2h.

作HE⊥AB于E，∴HE＝＝＝h.

∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB，

由三垂线定理有PE⊥AB，∴PE是点P到AB的距离.

在RtΔPHE中，PE＝＝＝h.

即点P到AB距离为h.

评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.

308.　 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.

解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.

解　 ∵　 PA⊥AB，∴∠APB＝90°

在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，

则PB＝a,AB＝a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，

∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝a.

∵AP⊥PC　 ∴在RtΔAPC中，AC＝＝＝2a

(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，

∴BC在平面PBC上的射影是BP.

∠CBP是CB与平面PAB所成的角

∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.

(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.

∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.

∴AB⊥平面PCM.

说明　 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.