59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(　　　 )

A.平行　　　　　　　　　　　　　 B.相交

C.异面　 　　　　　　　　　　　　D.以上都有可能

解析：D

58. 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有(　 )

A、1条　　 B、2条　　 C、3条　　 D、4条

解析： 过空间一点P作∥，∥，则由异面直线所成角的定义知：与的交角为，过P与，成等角的直线与，亦成等角，设，确定平面，，交角的平分线为，则过且与垂直的平面(设为)内的任一直线与，成等角(证明从略)，由上述结论知：与，所成角大于或等于与，所成角，这样在内的两侧与，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P与，成的直线有且只有2条，故选(B)

57. 三棱柱，平面⊥平面OAB，

，且，求异面直线与所成角的大小，(略去了该题的1问)

解析： 在平面内作于C ，连，

由平面平面AOB， 知，

AO⊥平面，　　 ∴ ，　

又 ，　 ∴ BC⊥平面，

∴ 为在平面内的射影。

设与所成角为，与所成角为，

则，

由题意易求得 　，

∴ ，

在矩形中易求得与所成角的余弦值：，

∴ ，

即与所成角为 。

56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，

求异面直线AE与CF所成角的大小。

解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC，

∴ EF为AE在平面BFC内的射影，

设AE与CF所成角为，

∴ ，

设正四面体的棱长为，则 ，

显然 EF⊥BC，　 ∴ 　，

∴ ， ，

∴ ，　 即AE∴与CF所成角为 。

55. 已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。

(略去了该题的2，3问)

解析： 设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影，

∴ ，

∴ ，

由题意 ，　 ∴。

又 ∵

∴，　 从而CH为的平分线，

又四边形ABCD是菱形，　 ∴

∴与BD所成角为，　 即

54. 已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则

直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，

解析：设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则有。

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=

∠ACB=，，求异面直线SC与AB所成角的大小。(略去了该题的1,2问)

由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，

设异面直线SC与AB所成角为，

则 ，

由 得

∴ 　， ，

∴ ，　 即异面直线SC与AB所成角为 。

53. 在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC₁与BD所成的角的余弦．

解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C₁C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得

cos∠OB==

解二：取AC₁中点O₁，B₁B中点G．在△C₁O₁G中，∠C₁O₁G即AC1与DB所成的角。

解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC₁即为AC₁与BD所成的角．连EC₁，在△AEC1

中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得

cos∠EAC₁==＜0

所以∠EAC₁为钝角．

根据异面直线所成角的定义，AC₁与BD所成的角的余弦为

52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。

解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG

　在ΔBCD中，，故EG//CD，并且，

　所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且，

　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得

　cos∠FGE=，故∠FGE=120°。

　另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 　 　求：AM与CN所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE 　为AM与CN所成的角。 　∵N为AD的中点, NE∥AM省　 　∴NE=AM且E为MD的中点。 　设正四面体的棱长为1，　则NC=·= 且ME=MD= 　在Rt△MEC中，CE²=ME²+CM²=+=

∴cos∠CNE=, 　又∵∠CNE ∈(0, ) ∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.

注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。