81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)，① a∥b，② a∥，③ b∥．其中，a，b在面外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．

解析：Ⅰ： a∥b

　　　　 a∥　 b∥

　　 b在外

Ⅱ：a∥b

　　 b∥　 a∥

　 a在外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面与交于

∵ a∥

∵ a∥

而a∥b

∴ b∥且b在外，在内

∴ b∥．

Ⅲ：a∥

　　　　　　 a∥b

　　 b∥

命题：平行于同一个平面的两条直线平行，

这是错的，如右图

80. 　已知：平面与平面相交于直线a，直线b与、都平行，求证：b∥a．

证明：在a上取点P，b和P确定平面设与交于，与交于

∵ b∥且b∥

∴ b∥且b∥

∴ 与重合，而， ，实际上是、、a三线重合，

∴ a∥b．

79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。

　 　　　　　　　　　 (1)求证：AB⊥MN；

　　　　　　　　　 (2)求证：MN的长是定值(14分)

解析：

78. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，G为CC₁的中点，O为底面ABCD的中心。

　 　　　　　　　　　 求证：A₁O⊥平面GBD(14分)

解析：

77. ．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。(12分)

解析：

76. 如图，已知

　　 求证a∥l

解析：

75. 设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心。

　 　　　　　　　　　 如图：(1)证明：PQ∥平面AA₁B₁B；

　　　　　　　　　 (2)求线段PQ的长。(12分)

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。

74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分)

解析：

71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于 　　 　解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.

　　 如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径.

　 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=.　

∴|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 　　 在△ABC中，由于AB²+AC²=BC². 　　 ∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径. 　　 ∴|ED|= 　　 从而|OD|=. 　　 故应选B. 72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有 　 A.4对 　 B.5对　 C.6对 　 D.7对 　答案(D) 　解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏 73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______ 　

解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN.

70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为

　　解析：设AC、BD交于O点，则BO⊥AC 　　 且DO⊥AC，在折起后，这个垂直关系不变，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三边长已知，所以可求出∠BOD： 　　 　　　　　　　　　　　　　　

　　 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是△DOB中，OB边上的高DE，理由是： 　　 　　 ∵DE⊥OB 　　 ∴DE⊥面ABC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 由cos∠DOB=，知sin∠DOE= 　　 ∴DE= 　　 ∴ 　　 应选(B)