0  376167  376175  376181  376185  376191  376193  376197  376203  376205  376211  376217  376221  376223  376227  376233  376235  376241  376245  376247  376251  376253  376257  376259  376261  376262  376263  376265  376266  376267  376269  376271  376275  376277  376281  376283  376287  376293  376295  376301  376305  376307  376311  376317  376323  376325  376331  376335  376337  376343  376347  376353  376361  447090 

91. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EAB1上,FBD上,且B1EBF.

求证:EF∥平面BB1C1C.

证法一:连AF延长交BCM,连结B1M.

ADBC

∴△AFD∽△MFB

又∵BDB1AB1EBF

DFAE

EFB1MB1M平面BB1C1C

EF∥平面BB1C1C.

证法二:作FHADABH,连结HE

ADBC

FHBCBCBB1C1C

FH∥平面BB1C1C

FHAD可得

BFB1EBDAB1

EHB1BB1B平面BB1C1C

EH∥平面BB1C1C

EHFHH

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF平面FHE

EF∥平面BB1C1C

说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.

试题详情

90. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.

已知:平面α∩平面βa,平面β∩平面γb,平面γ∩平面αc.

求证:abc相交于同一点,或abc.

证明:∵αβaβγb

abβ

ab相交或ab.

(1)ab相交时,不妨设abP,即PaPb

abβaα

PβPα,故Pαβ的公共点

又∵αγc

由公理2知Pc

abc都经过点P,即abc三线共点.

(2)当ab

αγcaαaγ

acab

abc

abc两两平行.

由此可知abc相交于一点或两两平行.

说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.

试题详情

89. 已知平面.其中=l=a=a=b=b

上述条件能否保证有?若能,给出证明,若不能给出一个反例,并添加适当的条件,保证有

不足以保证

如右图.

如果添加条件ab是相交直线,那么

证明如下:

aa

bb

ab内两条相交直线,

试题详情

88. 已知:直线a∥平面.求证:经过a和平面平行的平面有且仅有一个.

证:过a作平面与交于,在内作直线相交,在a上任取一点P,在P确定的平面内,过Pbb外,内,

b

a

ab确定的平面a且平行于

∵ 过ab的平面只有一个,

∴ 过a平行于平面的平面也只有一个

试题详情

87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,DAC的中点.

(1) 求证AB1∥平面C1BD

(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离.

证明:(1) 设B1CBC1=O

DO,则OB1C的中点.

在△ACB1中,DAC中点,OB1C中点.

DOAB1

DO平面C1BDAB1平面C1BD

AB1∥平面C1BD

解:(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱,DAC中点,

BDAC,且BDCC1

BD⊥平面AC1

平面C1BD⊥平面AC1C1D是交线.

在平面AC1内作AHC1D,垂足是H

AH⊥平面C1BD

AB1∥平面C1BD,故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离.

BC=8,B1C=10,得CC1=6,

在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6,

在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC

AB1到平面C1BD的距离是

评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的DO.本题的第(2)问,实质上进行了“平移变换”,利用AB1∥平面C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离.

试题详情

86. 已知:正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a

(1) 求证:平面A1BD∥平面B1D1C

(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离.

证明:(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中,

BB1平行且等于DD1

∴ 四边形BB1D1D是平行四边形,

BDB1D1

BD∥平面B1D1C

同理 A1B∥平面B1D1C

A1BBD=B

∴ 平面A1BD∥平面B1D1C

解:(2) 连AC1交平面A1BDM,交平面B1D1CN

ACAC1在平面AC上的射影,又ACBD

AC1BD

同理可证,AC1A1B

AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD

同理可证MN⊥平面B1D1C

MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离,

ACBD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E

M∈平面A1BDMAC1平面A1C

MA1E

同理NCF

在矩形AA1C1C中,见图9-21(2),由平面几何知识得

评述:当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线,或者使用反证法.

试题详情

85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BCMN分别是A1B1AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是    (   )

(A) 垂直

(B) 平行

(C) 相交但不垂直

(D) 要依P点的位置而定

解析:由题设知B1MANB1M=AN

四边形ANB1M是平行四边形,

B1NAMB1NAMC1平面.

C1MCN,得CN∥平面AMC1,则平面B1NCAMC1NP平面B1NC

NP∥平面AMC1

答案选B.

试题详情

84. 已知abc是三条不重合的直线,α、βr是三个不重合的平面,下面六个命题:

acbcab

arbrab

③α∥cβcα∥β

④α∥rβrα∥β

ac,α∥ca∥α;

ar,α∥ra∥α.

其中正确的命题是                           (   )

(A) ①④              (B) ①④⑤

(C) ①②③             (D) ①⑤⑥

解析:由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确;若两条不重合的直线同平行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误;平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误;平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行,命题④正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选A.

试题详情

83. 已知:ab是异面直线,a平面b平面ab

求证:.

证法1:在a上任取点P

显然Pb

于是b和点P确定平面

有公共点P

b

b′和a交于P

b

bb

b′∥

a

这样内相交直线ab′都平行于

证法2:设ABab的公垂线段,

ABb作平面

b′,

ABa作平面

a′.

aaa

bbb

ABaABa′,ABbABb

于是ABAB,

试题详情

82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行.

已知:是两个平面,直线ll,垂足分别为AB

求证:思路1:根据判定定理证.

证法1:过l作平面

ACBD

l作平面

AEBF

llAC

llBD    ACBDAC

lACBD共面

同理AEACAEACAE,故.

思路2:根据面面平行的定义,用反证法.

证法2:设有公共点P

lP确定平面

APBP

llAP

llBP

lAPBP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线APBP都与l垂直,这是不可能的.

不能有公共点,∴ .

试题详情


同步练习册答案