91. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.
求证:EF∥平面BB1C1C.
证法一:连AF延长交BC于M,连结B1M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD=B1A,B1E=BF
∴DF=AE
∴
∴EF∥B1M,B1M平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二:作FH∥AD交AB于H,连结HE
∵AD∥BC
∴FH∥BC,BCBB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
由FH∥AD可得
又BF=B1E,BD=AB1
∴
∴EH∥B1B,B1B平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C,
EH∩FH=H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.
90. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.
求证:a、b、c相交于同一点,或a∥b∥c.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a、bβ
∴a、b相交或a∥b.
(1)a、b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a、bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.
(2)当a∥b时
∵α∩γ=c且aα,aγ
∴a∥c且a∥b
∴a∥b∥c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.
89. 已知平面、、、.其中∩=l,∩=a,∩=,a∥,∩=b,∩=,b∥
上述条件能否保证有∥?若能,给出证明,若不能给出一个反例,并添加适当的条件,保证有∥.
不足以保证∥.
如右图.
如果添加条件a与b是相交直线,那么∥.
证明如下:
a∥a∥
b∥b∥
∵ a,b是内两条相交直线,
∴ ∥.
88. 已知:直线a∥平面.求证:经过a和平面平行的平面有且仅有一个.
证:过a作平面与交于,在内作直线与相交,在a上任取一点P,在和P确定的平面内,过P作b∥.b在外,在内,
∴ b∥
而a∥
∴ a,b确定的平面过a且平行于.
∵ 过a,b的平面只有一个,
∴ 过a平行于平面的平面也只有一个
87. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点.
(1) 求证AB1∥平面C1BD;
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离.
证明:(1) 设B1C∩BC1=O.
连DO,则O是B1C的中点.
在△ACB1中,D是AC中点,O是B1C中点.
∴ DO∥AB1,
又DO平面C1BD,AB1平面C1BD,
∴ AB1∥平面C1BD.
解:(2) 由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点,
∴ BD⊥AC,且BD⊥CC1,
∴ BD⊥平面AC1,
平面C1BD⊥平面AC1,C1D是交线.
在平面AC1内作AH⊥C1D,垂足是H,
∴ AH⊥平面C1BD,
又AB1∥平面C1BD,故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离.
由BC=8,B1C=10,得CC1=6,
在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6,
在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC
∴ .
即AB1到平面C1BD的距离是.
评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的DO.本题的第(2)问,实质上进行了“平移变换”,利用AB1∥平面C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离.
86. 已知:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a.
(1) 求证:平面A1BD∥平面B1D1C;
(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离.
证明:(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵ BB1平行且等于DD1,
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形,
∴ BD∥B1D1,
∴ BD∥平面B1D1C.
同理 A1B∥平面B1D1C,
又A1B∩BD=B,
∴ 平面A1BD∥平面B1D1C
解:(2) 连AC1交平面A1BD于M,交平面B1D1C于N.
AC是AC1在平面AC上的射影,又AC⊥BD,
∴ AC1⊥BD,
同理可证,AC1⊥A1B,
∴ AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD,
同理可证MN⊥平面B1D1C.
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离,
设AC、BD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E.
∵ M∈平面A1BD,M∈AC1平面A1C,
∴ M∈A1E.
同理N∈CF.
在矩形AA1C1C中,见图9-21(2),由平面几何知识得
,
∴ .
评述:当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线,或者使用反证法.
85. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,M、N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直
(B) 平行
(C) 相交但不垂直
(D) 要依P点的位置而定
解析:由题设知B1M∥AN且B1M=AN,
四边形ANB1M是平行四边形,
故B1N∥AM,B1N∥AMC1平面.
又C1M∥CN,得CN∥平面AMC1,则平面B1NC∥AMC1,NP平面B1NC,
∴ NP∥平面AMC1.
答案选B.
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题:
①a∥c,b∥ca∥b;
②a∥r,b∥ra∥b;
③α∥c,β∥cα∥β;
④α∥r,β∥rα∥β;
⑤a∥c,α∥ca∥α;
⑥a∥r,α∥ra∥α.
其中正确的命题是 ( )
(A) ①④ (B) ①④⑤
(C) ①②③ (D) ①⑤⑥
解析:由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确;若两条不重合的直线同平行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误;平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误;平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行,命题④正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选A.
83. 已知:a、b是异面直线,a平面,b平面,a∥,b∥.
求证:∥.
证法1:在a上任取点P,
显然P∈b.
于是b和点P确定平面.
且与有公共点P
∴ ∩=b′
且b′和a交于P,
∵ b∥,
∴ b∥b′
∴ b′∥
而a∥
这样内相交直线a和b′都平行于
∴ ∥.
证法2:设AB是a、b的公垂线段,
过AB和b作平面,
∩=b′,
过AB和a作平面,
∩=a′.
a∥a∥a′
b∥b∥b′
∴AB⊥aAB⊥a′,AB⊥bAB⊥b′
于是AB⊥且AB⊥,∴ ∥.
82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行.
已知:、是两个平面,直线l⊥,l⊥,垂足分别为A、B.
求证:∥思路1:根据判定定理证.
证法1:过l作平面,
∩=AC,∩=BD,
过l作平面,
∩=AE,∩=BF,
l⊥l⊥AC
l⊥l⊥BD AC∥BDAC∥,
l、AC、BD共面
同理AE∥,AC∩AE≠,AC,AE,故∥.
思路2:根据面面平行的定义,用反证法.
证法2:设、有公共点P
则l与P确定平面,
且∩=AP,∩=BP.
l⊥l⊥AP
l⊥l⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直,这是不可能的.
故、不能有公共点,∴ ∥.
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com