101. 是△ABC在平面α上的射影,那么和∠ABC的大小关系是 ( )
(A) <∠ABC (B) >∠ABC
(C) ≥∠ABC (D) 不能确定
解析:D
一个直角,当有一条直角边平行于平面时,则射影角可以等于原角大小,但一般情况不等.
100. 已知:如图,P是∠BAC所在平面外一点,PD⊥AB,D为垂足,PE⊥AC,E为垂足,在平面BAC内过D作DF⊥AB,过E作EF⊥AC,使得EF∩DF=F.连结PF,求证:PF⊥平面BAC.
证明:∵PD⊥AB,DF⊥AB,PDDF=D
∴AB⊥平面PDF
∵PF平面PDF
∴ AB⊥PF
同理,AC⊥PF
∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BAAC=A
∴ PF⊥平面BAC
99. 已知:如图,平面∩平面=直线l,A∈ ,AB⊥,B∈,BC⊥,C∈,求证:AC⊥l.
证明:∵ AB⊥,l
∴ l⊥AB
∵ BC⊥,l
∴ l⊥BC
∵ AB∩BC=B
∴ l⊥平面ABC
∵ AC平面ABC
∴ l⊥AC
98. 已知ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,M、N分别是SC、AB的中点.
求证:MN⊥AB.
解析:连结MB、MA,证明MB=MA.
97. 已知:如图,AS⊥平面SBC,SO⊥平面ABC于O,
求证:AO⊥BC.
解析:连结AO,证明BC⊥平面ASO.
96. 已知PA,PB,PC与平面α所成的角分别为60°,45°,30°,PO⊥平面α,O为垂足,又斜足A,B,C三点在同一直线上,且AB=BC=10cm,求PO的长.
解析:
95. 已知:ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,E是SC上一点.
求证:BE不可能垂直于平面SCD.
解析:用到反证法,假设BE⊥平面SCD,
∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
∴ AB⊥SB,这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾.
∴ BE不可能垂直于平面SCD.
94. 已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面.
(1)求证:EF⊥平面GMC.
(2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解析:第1小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理;第2小题,如果用定义来求点到平面的距离,因为体现距离的垂线段无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题.
解:
(1)连结BD交AC于O,
∵E,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC⊥BD,
∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C,
∴EF⊥平面GMC.
(2)可证BD∥平面EFG,由例题2,正方形中心O到平面EFG
93. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.
解析:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,除上面的证法外,还可以连CN并延长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MN∥B1P.
分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过MN作一个平面,使此平面与平面ABB1A1平行,从而证得MN∥平面ABB1A1.
92. 已知:平面α∥平面β,线段AB分别交α、β于点M、N;线段AD分别交α、β于点C、D;线段BF分别交α、β于点F、E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面积=(m+p)(n+p),求:END的面积.
解析:如图,面AND分别交α、β于MC,ND,因为α∥β,
故MC∥ND,同理MF∥NE,得
∠FMC=∠END,
∴ND∶MC=(m+p):m和EN∶FM=n∶(n+p)
S△END∶S△FMC=
得S△END=×S△FMC
=·(m+p)(n+p)=(m+p)2
∴△END的面积为(m+p)2平方单位.
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