7.如图,△ABC是圆O的内接三角形,AC=BC,D为圆O中
上一点,延长DA至点E,使得CE=CD.
(1)求证:AE=BD;
(2)若AC⊥BC,求证:AD+BD=CD.
证明:(1)在△ABC中,∠CAB=∠CBA.
在△ECD中,∠CED=∠CDE.
∵∠CBA=∠CDE,∴∠ACB=∠ECD.
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD.
∴∠ACE=∠BCD.
又CE=CD,AC=BC,
∴△ACE≌△BCD.
∴AE=BD.
(2)若AC⊥BC,
∵∠ACB=∠ECD,
∴∠ECD=90°,∠CED=∠CDE=45°.
∴DE=CD.
又∵AD+BD=AD+EA=ED,
∴AD+BD=CD.
6.如图,AB、CD是圆的两条平行弦,BE∥AC,并交CD
于E,交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,
PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的长;
(2)求证:EF=BE.
解:(1)∵PA2=PC·PD,PA=2,PC=1,∴PD=4,
又∵PC=ED=1,∴CE=2.
∵∠PAC=∠CBA,∠PCA=∠CAB,
∴△PAC∽△CBA,
∴=,∴AC2=PC·AB,
又∵AB∥CE,AC∥BE,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴AB=CE=2,∴AC=.
(2)证明:∵CE·ED=BE·EF,BE=AC=.
∴EF==,∴EF=BE.
5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,=,
过A点的切线交CB的延长线于E点.
求证:AB2=BE·CD.
证明:连结AC,因为EA切⊙O于A,
所以∠EAB=∠ACB.
因为=,
所以∠ACD=∠ACB,AB=AD.
于是∠EAB=∠ACD.
又四边形ABCD内接于⊙O,所以∠ABE=∠D.
所以△ABE∽△CDA.
于是=,即AB·DA=BE·CD.
所以AB2=BE·CD.
4.如图,AB是圆O的直径,P为圆外一点,PB是圆O的切线,
PA是圆O的割线且与圆O相交于点C.过点C作圆O的切线与
PB交于D点.求证:
(1)OD∥AP;
(2)PD·PB=PC·OD.
证明:(1)连结OC,BC,
在△OCD和△OBD中
∠OCD=∠OBD=90°,
OB=OC,OD=OD,
∴△OCD≌△OBD,
∴∠BOD=∠COD=∠BOC. ①
又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角
∴∠BOC=∠BAC, ②
由①②得∠BOD=∠BAC,
∴OD∥AP.
(2)∵PB2=PC·PA, ③
由(1)知OD∥AP,O为AB中点,
∴DO是△BPA的中位线,
∴PA=2OD,PB=2PD,代入③得
2PD·PB=PC·2OD,
即PD·PB=PC·OD.
3.如图,AB是圆O的直径,弦BD、CA的延长线相交于
点E,EF垂直BA的延长线于点F.
求证:∠DEA=∠DFA.
证明:连结AD,因为AB为圆的直径,
所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°,
所以A、D、E、F四点共圆.所以∠DEA=∠DFA.
2.如图所示,已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,
过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作
两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE
与AC相交于点P.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
解:(1)证明:连结AB,
∵AC是⊙O1的切线,
∴∠BAC=∠D.
又∵∠BAC=∠E,
∴∠D=∠E.∴AD∥EC.
(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12. ①
∵AD∥EC,∴=⇒=. ②
由①②可得或(舍去)
∴DE=9+x+y=16.∵AD是⊙O2的切线,
∴AD2=DB·DE=9×16.∴AD=12.
1.如图,已知⊙O的半径为2,弦AB的长为2,点C是劣弧ACB上
任一点,(点C不与A、B重合),求∠ACB.
解:连结OA、OB,过O作OE⊥AB,E为垂足,则AE=BE.
在Rt△AOE中,OA=2,AE=AB=×2=,
∴sin∠AOE==,
∴∠AOE=60°,
∴∠AOB=2∠AOE=120°,在优弧上任取一点D(不与A、B重合),
∴∠ADB=∠AOB=60°,
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°.
8.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于D,
BE是∠ABC的平分线,交AD于F,交AC于E,
求证:=.
证明:∵BE是∠ABC的平分线,
∴=, ①
=, ②
在Rt△ABC中,由射影定理知,
AB2=BD·BC,即= ③
由①③得:=, ④
由②④得:=.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F.
求证:AE·AB=AF·AC.
证明:∵AD⊥BC,
∴△ADB为直角三角形,
又∵DE⊥AB,由射影定理知,AD2=AE·AB.
同理可得AD2=AF·AC,
∴AE·AB=AF·AC.
6.如图,在等腰梯形中,AB∥CD,AD=12 cm,AC交梯形
中位线EG于点F,若EF=4 cm,FG=10 cm.求此梯形的
面积.
解:如图所示,作高DM、CN,则四边形DMNC为矩形.
∵EG是梯形ABCD的中位线,
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点.
∴DC=2EF=8,AB=2FG=20,MN=DC=8.
在Rt△ADM和Rt△BCN中,
AD=BC,∠DAM=∠CBN,∠AMD=∠BNC=90°,
∴△ADM≌△BCN.
∴AM=BN=(20-8)=6,
∴DM===6,
∴S梯形=EG·DM=14×6=84 (cm2).
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