0  376175  376183  376189  376193  376199  376201  376205  376211  376213  376219  376225  376229  376231  376235  376241  376243  376249  376253  376255  376259  376261  376265  376267  376269  376270  376271  376273  376274  376275  376277  376279  376283  376285  376289  376291  376295  376301  376303  376309  376313  376315  376319  376325  376331  376333  376339  376343  376345  376351  376355  376361  376369  447090 

7.如图,△ABC是圆O的内接三角形,ACBCD为圆O

上一点,延长DA至点E,使得CECD.

(1)求证:AEBD

(2)若ACBC,求证:AD+BDCD.

证明:(1)在△ABC中,∠CAB=∠CBA.

在△ECD中,∠CED=∠CDE.

∵∠CBA=∠CDE,∴∠ACB=∠ECD.

∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD.

∴∠ACE=∠BCD.

CECDACBC

∴△ACE≌△BCD.

AEBD.

(2)若ACBC

∵∠ACB=∠ECD

∴∠ECD=90°,∠CED=∠CDE=45°.

DECD.

又∵AD+BDAD+EAED

AD+BDCD.

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6.如图,ABCD是圆的两条平行弦,BEAC,并交CD

E,交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P

PCED=1,PA=2.

(1)求AC的长;

(2)求证:EFBE.

解:(1)∵PA2PC·PDPA=2,PC=1,∴PD=4,

又∵PCED=1,∴CE=2.

∵∠PAC=∠CBA,∠PCA=∠CAB

∴△PAC∽△CBA

∴=,∴AC2PC·AB

又∵ABCEACBE

∴四边形ABEC为平行四边形,

ABCE=2,∴AC=.

(2)证明:∵CE·EDBE·EFBEAC=.

EF==,∴EFBE.

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5.如图,四边形ABCD内接于⊙O

A点的切线交CB的延长线于E点.

求证:AB2BE·CD.

证明:连结AC,因为EA切⊙OA

所以∠EAB=∠ACB.

 

因为

所以∠ACD=∠ACBABAD.

于是∠EAB=∠ACD.

又四边形ABCD内接于⊙O,所以∠ABE=∠D.

所以△ABE∽△CDA.

于是=,即AB·DABE·CD.

所以AB2BE·CD.

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4.如图,AB是圆O的直径,P为圆外一点,PB是圆O的切线,

PA是圆O的割线且与圆O相交于点C.过点C作圆O的切线与

PB交于D点.求证:

(1)ODAP

(2)PD·PBPC·OD.

证明:(1)连结OCBC

在△OCD和△OBD

OCD=∠OBD=90°,

 

 

 

 

 

OBOCODOD

∴△OCD≌△OBD

∴∠BOD=∠COD=∠BOC.                       ①

又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角

∴∠BOC=∠BAC,                          ②

由①②得∠BOD=∠BAC

ODAP.

(2)∵PB2PC·PA,                           ③

由(1)知ODAPOAB中点,

DO是△BPA的中位线,

PA=2ODPB=2PD,代入③得

2PD·PBPC·2OD

PD·PBPC·OD.

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3.如图,AB是圆O的直径,弦BDCA的延长线相交于

EEF垂直BA的延长线于点F.

求证:∠DEA=∠DFA.

证明:连结AD,因为AB为圆的直径,

所以∠ADB=90°,又EFAB,∠EFA=90°,

所以ADEF四点共圆.所以∠DEA=∠DFA.

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2.如图所示,已知⊙O1和⊙O2相交于AB两点,

A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B

两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点DEDE

AC相交于点P.

(1)求证:ADEC

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

解:(1)证明:连结AB

AC是⊙O1的切线,

∴∠BAC=∠D.

又∵∠BAC=∠E

∴∠D=∠E.∴ADEC.

(2)设BPxPEy,∵PA=6,PC=2,∴xy=12.             ①

ADEC,∴=⇒=.                    ②

由①②可得或(舍去)

DE=9+x+y=16.∵AD是⊙O2的切线,

AD2DB·DE=9×16.∴AD=12.

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1.如图,已知⊙O的半径为2,弦AB的长为2,点C是劣弧ACB

任一点,(点C不与AB重合),求∠ACB.

解:连结OAOB,过OOEABE为垂足,则AEBE.

在Rt△AOE中,OA=2,AEAB=×2=,

∴sin∠AOE==,

∴∠AOE=60°,

∴∠AOB=2∠AOE=120°,在优弧上任取一点D(不与AB重合),

∴∠ADB=∠AOB=60°,

∴∠ACB=180°-∠ADB=120°.

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8.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,ADBCD

BE是∠ABC的平分线,交ADF,交ACE

求证:=.

证明:∵BE是∠ABC的平分线,

∴=,                               ①

=,                                ②

在Rt△ABC中,由射影定理知,

AB2BD·BC,即=                         ③

由①③得:=,                          ④

由②④得:=.

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7.如图,在△ABC中,ADBCDDEABE

DFACF.

求证:AE·ABAF·AC.

证明:∵ADBC

∴△ADB为直角三角形,

又∵DEAB,由射影定理知,AD2AE·AB.

同理可得AD2AF·AC

AE·ABAF·AC.

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6.如图,在等腰梯形中,ABCDAD=12 cm,AC交梯形

中位线EG于点F,若EF=4 cm,FG=10 cm.求此梯形的

面积.

解:如图所示,作高DMCN,则四边形DMNC为矩形.

EG是梯形ABCD的中位线,

EGDCAB.

FAC的中点.

DC=2EF=8,AB=2FG=20,MNDC=8.

在Rt△ADM和Rt△BCN中,

ADBC,∠DAM=∠CBN,∠AMD=∠BNC=90°,

∴△ADM≌△BCN.

AMBN=(20-8)=6,

DM===6,

S梯形EG·DM=14×6=84 (cm2).

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