0  376434  376442  376448  376452  376458  376460  376464  376470  376472  376478  376484  376488  376490  376494  376500  376502  376508  376512  376514  376518  376520  376524  376526  376528  376529  376530  376532  376533  376534  376536  376538  376542  376544  376548  376550  376554  376560  376562  376568  376572  376574  376578  376584  376590  376592  376598  376602  376604  376610  376614  376620  376628  447090 

4.求导数的方法

(1) 八个基本求导公式

    ;        ;(n∈Q)

          

     ,        

      ,      

(2) 导数的四则运算

             

        ,     

(3) 复合函数的导数

在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且     ,即.

典型例题
 
 

例1.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.

解  ∵Δy=

 

变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 

解  

例2. 求下列各函数的导数:

 (1)     (2)

 (3)   (4)

  解  (1)∵

  ∴y′

  (2)方法一  y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.

  方法二  =

=(x+3)+(x+1)(x+2)

=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. 

(3)∵y=

(4)

变式训练2:求y=tanx的导数.

  解  y′

例3. 已知曲线y= 

(1)求曲线在x=2处的切线方程; 

(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.

 解  (1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4.   

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 

(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点

则切线的斜率k=|=. 

∴切线方程为 

∵点P(2,4)在切线上,∴4=

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k=     .

  答案 2或

例4. 设函数 (a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.

(1)求的解析式;

(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.

(1)解 

于是解得

因为a,bZ,故

(2)证明  在曲线上任取一点

知,过此点的切线方程为

令x=1,得,切线与直线x=1交点为

令y=x,得,切线与直线y=x的交点为

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为

所以,所围三角形的面积为定值2.

变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式. 

解  ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.         ① 

又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 

故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. 

∴b=0,d=0.         ② 

∴f(x)=ax4+cx2+1. 

∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1). 

∴a+c+1=-1.       ③ 

=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1.     ④ 

由③④得a=,c=. ∴函数y=f(x)的解析式为

小结归纳
 
 

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3.导数的几何意义:设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的     .

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2.导函数:函数y=在区间(a, b)内    的导数都存在,就说在区间( a, b )内     ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做     ,记作,函数的导函数时的函数值     ,就是处的导数.

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1.导数的概念:函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比     ,即         

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3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

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导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数.

第1课时   变化率与导数、导数的计算

基础过关
 
 

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2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数), 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

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1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.

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22.解:(1)设P(x,y)是函数的图象上任意一点,则容易求得P点关于直线x=1的对称点为的图象上,

    .………………2分

   

    的一个极值点,

    ………………4分

   

   

    …………6分

  (2)由

    ……10分

    时恒成立.  

    时的最小值,

即可求得m的取值范围.

   

    ……………………………………………………14分

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21.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意所求椭圆方程为 ---6分

(Ⅱ)设.(1)当轴时,. -------------------8分

(2)当轴不垂直时,设直线的方程为.由已知,---------9分

.---------10分

代入椭圆方程,整理得

 

当且仅当,即时等号成立.当时,,综上所述

最大时,面积取最大值.---------------12分

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20.解:(1)从50名教师随机选出2名的方法数为

选出2人使用版本相同的方法数为

故2人使用版本相同的概率为:…………………………6分

(2)∵


0
1
2
P



的分布列为……………10分

       ……………………12分

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