73、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且 设是曲线在点()处的切线方程,并设函数
(1)用、、表示m;
(2)证明:当;
(3)是否存在实数a,使得若关于的不等式上恒成立?若存在,求出a的范围,若不存在说明理由。
解:(1) 5′
(2)证明:令
因为递减,所以递增,因此,当;
当.所以是唯一的极值点,且是极小值点,可知的
最小值为0,因此即 11′
(3)是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
14′
令,于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即 17′
综上所述,当1≤a≤不等式成立. 18′
72、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设常数,函数.
(1)令,求的最小值,并比较的最小值与零的大小;
(2)求证:在上是增函数;
(3)求证:当时,恒有.
解(Ⅰ)∵,
∴,
……2分
∴,
∴,令,得, ……4分
列表如下:
x |
(0,2) |
2 |
(2,+∞) |
g'(x) |
- |
0 |
+ |
g(x) |
|
极小值g(2) |
|
∴在处取得极小值,
即的最小值为. ……6分
,
∵,∴,又,
∴. ……8分
证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,的最小值是正数,
∴对一切,恒有, ……10分
从而当时,恒有, ……11分
故在上是增函数. ……12分
证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知:在上是增函数,
∴当时,, ……13分
又, ……14分
∴,即, ……15分
∴
故当时,恒有. ……16分
71、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数在处取得极值,其图象在处的切线的斜率为。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求的取值范围;
(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数),当时,恒有恒成立?若存在,试求出的最小值;若不存在,请说明理由。
解:(Ⅰ)方法一、 .由题设,得 ①
②
∵,∴,∴。
由①代入②得,∴,
得∴或 ③
将代入中,得 ④
由③、④得;
方法二、同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,所以,则
方法三:同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,显然,所以
因为图象的开口向下,且有一根为x1=1
由韦达定理得,
,所以,即,则,由得:
所以:
方法四:由得:且,由此可知
(Ⅱ)由(1)知,的判别式Δ=
∴方程有两个不等的实根,
又,∴,
∴当或时,,当时,,
∴函数的单调增区间是,∴,由知。
∵函数在区间上单调递增,∴,∴,即的取值范围是;
(Ⅲ)由,即,∵,,∴,∴或。由题意,得,∴,∴存在实数满足条件,即的最小值为。
70、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.
解:(Ⅰ)因为,
所以. …………………………………………3分
因为h(x)在区间上是增函数,
所以在区间上恒成立.
若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.
又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.
所以a>1.
由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,
所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………………………9分
以下证明. (※)
(※)等价于. ……………………………………………11分
令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,…………………………………………………………13分
r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.
当x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即,
从而得到证明.……………………………………………………………………15分
对于同理可证……………………………………………………………16分
所以.
评讲建议:
此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:
要证明,只要证明>1,令,作函数h(x)=t-1-lnt,下略.
69、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
解:(1)函数的定义域为(0,+)
(2分)
当k>0时,,所以函数的单调递增区间为(0,)单调递减区是为
当k=0时,不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)
当k<0时,因为x>0,所以不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)
综上所述,当k>0时,函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为[,+);当k≤0时,函数的单调递增区间为(0,+)。(5分)
(2)由(1)知k≤时,函数是增函数,而,不成立,所以k>0,由(1)可得恒成立,只需,
所以所以k≥1(9分)
(3)由(2)可得当k=1时,lnx≤x-1在(0,+)上恒成立。
ln2≤1 ln3≤2 ln4≤3 ……
以上各式左右两边分别相加得
≤1+2+3+…+n=
68、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知函数,设。
(Ⅰ)求F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。
(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。
解.(Ⅰ)
由。
(Ⅱ)
当
…………………………………………4分
(Ⅲ)若的图象与
的图象恰有四个不同交点,
即有四个不同的根,亦即
有四个不同的根。
令,
则。
当变化时的变化情况如下表:
|
|
(-1,0) |
(0,1) |
(1,) |
的符号 |
+ |
- |
+ |
- |
的单调性 |
↗ |
↘ |
↗ |
↘ |
由表格知:。
画出草图和验证可知,当时,
………………12分
67、(黄家中学高08级十二月月考)设函数R.
(1)若处取得极值,求常数a的值;
(2)若上为增函数,求a的取值范围.
[解]:(Ⅰ)
因取得极值, 所以 解得
经检验知当为极值点.
(Ⅱ)令
当和上为增函数,
故当上为增函数.
当上为增函数,
从而上也为增函数.
综上所述,当上为增函数.
66、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)(1)已知函数m(x)=ax2e-x (a>0), 求证: 函数y=m(x)在区间[2,+∞)上为减函数.
(2) 已知函数f(x)=ax2+2ax, g(x)=ex, 若在(0, +∞)上至少存在一点x0, 使得f(x0)>g(x0)成立, 求实数a的取值范围.
解:(1) m '(x)= axe-x(2-x), 而ax>0, ∴当x>2时, m '(x)<0, 因此m(x)在[2,+∞)上为减函数.
(2)记m(x)=, 则m'(x)=(-ax2+2a)e-x,
当x>时, m '(x)<0 当0<x<时, m '(x)>0
故m(x)在x=时取最大值,同时也为最大值. m(x)max=m()=
依题意, 要在(0,+∞)上存在一点x0, 使f(x0)>g(x0)成立. 即使m(x0)>1只需m()>1
即>1 ∴ , 因此, 所求实数a的取值范围为(, +∞)
65、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数.
(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且,已知a1 = 4,求证:an ³ 2n + 2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.
解:(1),.
要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在内恒大于0或恒小于0,
当在内恒成立;
当要使恒成立,则,解得,
当恒成立,
所以的取值范围为.
根据题意得:,
于是,
用数学归纳法证明如下:
当,不等式成立;
假设当时,不等式成立,即也成立,
当时,,
所以当,不等式也成立,
综上得对所有时,都有.
(3) 由(2)得,
于是,
所以,
累乘得:,
所以.
64、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知函数在区间(1,2 ]上是增函数,在区间(0,1)上为减函数.
(Ⅰ)试求函数的解析式;
(Ⅱ)当 x >0时,讨论方程解的个数.
解: (Ⅰ)在恒成立,
所以,.
又在恒成立,
所以 ,. …………………………………4分
从而有.
故,. …………………………6分
(Ⅱ)令,
则
所以在上是减函数,在上是增函数, ……………………9分
从而当时,.
所以方程在只有一个解. ……………………12分
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