1．充分条件：如果则p叫做q的　　　　 条件，q叫做p的　　　　 条件．

3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定(如“至少”等)，而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．

第2课时　　 充要条件

2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．

1．有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式．

3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其　　 　　出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．

例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 (　 )

A．p:0＝；q:0∈

B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； y＝sinx在第一象限是增函数

C．；不等式的解集为

D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4

解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，

命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．

变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么(　 )

A．命题p和命题q都是假命题

B．命题p和命题q都是真命题

C．命题p和命题“非q”真值不同

D．命题q和命题p的真值不同

解： D

例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

(1) 若q<1，则方程x²+2x+q＝0有实根；

(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；

(3) 若x²+y²＝0，则x、y全为零.

解：(1)逆命题：若方程x²+2x+q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x²+2x+q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x²+2x+q＝0无实根，则q≥1，为真命题．

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．

(3)逆命题：若x、y全为零，则x²+y²＝0，为真命题．

否命题：若x²+y²≠0，则x、y不全为零，为真命题．

逆否命题：若x、y不全为零，则x²+y²≠0，为真命题．

变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：　

(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；　

(2)矩形的对角线互相平分且相等；　

(3)相似三角形一定是全等三角形.　

解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.　

原命题为真命题，否命题也为真命题.　

(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”　

原命题是真命题，否命题是假命题.　

(3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.　

原命题是假命题，否命题是真命题.

例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．

解：p：有两个不等的负根．

q：无实根．

因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．

(ⅰ) 当p真且q假时，有；

(ⅱ) 当p假且q真时，有．

综合，得的取值范围是{或}．

变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a^x在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.

　 解 ： 由函数y=a^x在R上单调递减知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,　

则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要y_min>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,则0<a≤若p假q真，则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤或a≥1.

例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x²－2y+，b＝y²－2z+，c＝z²－2x+．求证：a、b、c中至少有一个大于0．

证明：假设都不大于0，即 ，则

而

＝

，．

相矛盾．因此中至少有一个大于0．

变式训练4：已知下列三个方程：①x²+4ax－4a+3＝0，②x²+(a－1)x+a²＝0，③x²+2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

解：设已知的三个方程都没有实根．

则

解得．

2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题　　　　　　 、否命题　　　　　　 、逆否命题　　　　　　 ．原命题与它的逆否命题同　　　　　　 、否命题与逆命题同　　　　　 ．

1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：　　　　　　　 、否命题：　　 　　　逆否命题：　　　　　　 .

3．判断复合命题的真假的方法-真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的　　　　 当p与q都真时，p且q形式的复合命题　　　　　　 ，其他情形　　　　　 ；当p与q都　　　 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形　　　　　　 ．

2．逻辑联结词有　　　　　　 　，不含　　　　　　　　 的命题是简单命题．

由　　　　　　　　 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：　　　　　　 ，(其中p，q都是简单命题)．

1． 可以　　　　　　 的语句叫做命题．命题由　　　　　　 两部分构成；

命题有　　　　　　　 之分；数学中的定义、公理、定理等都是　　　　　　 命题．