10.(2005春北京)已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)求数列{b_n}的前n项和S_n的公式；

(3)设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n－2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，

其中n=1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论.

剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.

解:(1)设{a_n}的公比为q，由a₃=a₁q²得q²==9，q=±3.

当q=－3时，a₁+a₂+a₃=2－6+18=14＜20，

这与a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去.

当q=3时，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合题意.

设数列{b_n}的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得4b₁+d=26.

又b₁=2，解得d=3，所以b_n=3n－1.

(2)S_n==n²+n.

(3)b₁，b₄，b₇，…，b_3n－2组成以3d为公差的等差数列，

所以P_n=nb₁+·3d=n²－n；

b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8组成以2d为公差的等差数列，b₁₀=29，

所以Q_n=nb₁₀+·2d=3n²+26n.

P_n－Q_n=(n²－n)－(3n²+26n)=n(n－19).

所以，对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；

当n=19时，P_n=Q_n；

当n≤18时，P_n＜Q_n.

评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

[探索题]

设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5，5，5成等比数列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n、b_n.

剖析：由等比中项、等差中项的性质得a_n+1=递推出a_n=(n≥2).

解：∵5，5，5成等比数列，

∴(5)²=5·5，即2b_n=a_n+a_n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，

∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n·b_n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由②及a_i＞0，b_j＞0(i、j∈N^*)可得

a_n+1=.　　　　　 　 ③　 ∴a_n=(n≥2).　　　　　　　　　　　 　 ④

将③④代入①可得2b_n=+(n≥2)，

∴2=+(n≥2).

∴数列{}为等差数列.

∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁·b₂，∴b₂=.

∴=+(n－1)(－)

=(n+1)(n=1也成立).

∴b_n=.

∴a_n==

=(n≥2).

又当n=1时，a₁=1也成立.

∴a_n=.

9.　　 已知数列满足

　　　 (I)求数列的通项公式；

　　　 (II)若数列满足，证明：是等差数列；

　　　 解(I)：

　　　 是以为首项，2为公比的等比数列。

　　　 即　

　　　 (II)证法一：

　　　 　　　　　　　①

　　　 　　　　②

　　　 ②－①，得

　　　 即

　　 ④－③，得　

　　　 即　

　　　 是等差数列。

　　　 证法二：同证法一，得

　　　 令得

　　　 设下面用数学归纳法证明　

　　　 (1)当时，等式成立。

　　　 (2)假设当时，那么

　　　 这就是说，当时，等式也成立。

　　　 根据(1)和(2)，可知对任何都成立。

　　　 是等差数列。