1.等差数列的概念和性质，证明数列{a_n}是等差数列的方法：

[例1](1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,

求这个数列项数.

　(2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和

解(1)

,

(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.

解法一:设的首项为,公差,则

分析二:运用前n项和变式:

解法二: 为等差数列,故可设,

则

解法三：

方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.

题(1)利用了等差数列的性质和前S_n公式的特点;

题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.

[例2]数列{a_n}的前n项和为S_n=npa_n(n∈N^*)且a₁≠a₂，

(1)求常数p的值；

(2)证明：数列{a_n}是等差数列.

分析：(1)注意讨论p的所有可能值.

(2)运用公式a_n=　 求a_n.

解：(1)当n=1时，a₁=pa₁，若p=1时，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，

∴a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1.则a₁=0.

当n=2时，a₁+a₂=2pa₂，∴(2p－1)a₂=0.

∵a₁≠a₂，故p=.

(2)由已知S_n=na_n，a₁=0.

n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=na_n－(n－1)a_n－1.

∴=.则=，…，=.(n≥3)

∴=n－1.∴a_n=(n－1)a₂，　 a_n－a_n－1=a₂. (n≥3)

又a₂-a₁=a₂,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.

故{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列.

提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义a_n-a_n-1=d,　 2.等差中项,3.通项公式a_n=pn+q,4.S_n=Pn²=qn

例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。

分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则

∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4

又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。

其和

分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。

解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为

设中的第n项与中的第m项相同，即

根据题意得：

从而有25个相同的项，且公差为12，其和

(另法:由m=3r知第r个相同的项为b_3r=12r-1…)

方法提炼：法1:设两数列中a_n=b_m,求出n(或m)应满足的关系,再代回a_n(或b_m)

法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.

例4、等差数列{a_n}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a₁-a_m=18，求这个数列的通项公式。

又,两式相除得,

从而由②得：a₁+a₇=22,　 又已知　a₁-a₇=18,可解得　a₁=20,a₇=2.

公差d=-3, a_n=-3n+23.

解法2:利用前奇数项和与中项的关系

令m=2n-1，n∈N₊

则

∴ ,　 n=4,　 m=7,　 a_n=11

∴ a₁+a_m=2a_n=22,　 又a₁-a_m=18

∴ a₁=20，a_m=2

∴ d=-3

∴ a_n=-3n+23

提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．

[研讨.欣赏] 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列().　　 (1)若，求；

(2)试写出关于的关系式，并求的取值范围；

(3)续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.

　[解](1).

　　 (2)，

　 ，

　　 当时，.

　(3)所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.　

解题回顾：方法是基本的--转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.

6.设首项为,公差为,则

5. a₂+a₄+a₁₅=p(常数)，∴3a₁+18d=p，即a₇=p.

∴S₁₃==13a₇=p.

4.

6.在等差数列中,已知,则n=　　　 .

简答:1-4.ACBC; 3. a₁₁＞|a₁₀|=－a₁₀，∴a₁₀+a₁₁=a₁+a₂₀＞0.

∴S₂₀=10(a₁+a₂₀)＞0.选 B

5.等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂+a₄+a₁₅=p是一常数，则S₁₃=　　　

4.(2006天津)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、．设()，则数列的前10项和等于

A．55　　　　　　　　　 B．70　　　　　　　　　 C．85　　　　　　　　　 D．100　　　　 ( 　)

3.等差数列{a_n}中，a₁₀＜0，a₁₁＞0且a₁₁＞|a₁₀|，S_n为其前n项和，则　　 (　 )

A. S₁₀小于0，S₁₁大于0　　 B. S₁₉小于0，S₂₀大于0

C. S₅小于0，S₆大于0　　 D. S₂₀小于0，S₂₁大于0

2. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A　 5　　　　 B　 4　 　　C　 3　　　　 D　 2