3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．

2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．

1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．

2．等可能性事件的概率

(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．

(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：

例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；

(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是(　　 )

A． 　　 B．　　　 C．　　　 D．

(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？

解：(1)从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为

(2)　 (3)

变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P₁，第10人摸出是黑球的概率为P₁₀，则　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　 B．

C．P₁₀＝0　　　　　　 D．P₁₀＝P₁

解：D

例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.

(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；

(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.

解：(1)记“取到的4个球全是红球”为事件.

(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B₁，“取到的4个球全是白球”为事件B₂，由题意，得

所以

，化简，得7n²－11n－6＝0，解得n＝2，或(舍去)，故n＝2.

变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　 B．

C．　　　 　　 D．

解：A

例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；

(2) 计分介于20分到40分之间的概率.

解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，

则

(2)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)+P(“＝4”)＝

变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：

① 这个三位数字是5的倍数的概率；

②这个三位数是奇数的概率；

③这个三位数大于400的概率.

解：⑴ ⑵ ⑶

例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：

(1)他获得优秀的概率是多少？

(2)他获得及格与及格以上的概率有多大？

解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．

(1)记“他答对5道题”为事件，由分析过程已知在这种结果中，他答对5题的结果有种，故事件的概率为

(2)记“他至少答对4道题”为事件，由分析知他答对4道题的可能结果为种，故事件的概率为：

答：他获得优秀的概率为，获得及格以上的概率为

变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.

(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；

(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？

解：(1)

(2)由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．　

①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

②2.了解几何概型的意义.

概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。

第1课时　　 随机事件的概率

1．随机事件及其概率

(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．

(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．

(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．

(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．

(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．

①1.理解古典概型及其概率计算公式.

②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.

1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从　　　　　 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

例1．若均为实数，且。

求证：中至少有一个大于0。

答案：(用反证法)

假设都不大于0，即，则有，

而　　 =

∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。

变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是　　　　　　　

答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。

例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，

求证：。

答案：证明：要证，即需证。

即证。

又需证，需证

∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理，有，即。

∴成立，命题得证。

变式训练2：用分析法证明：若a>0，则。

答案：证明：要证，

只需证。

∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证

只需证，

只需证，只需证，

即证，它显然成立。∴原不等式成立。

例3．已知数列，，，．

记．．

求证：当时，

(1)；

(2)；

(3)。

解：(1)证明：用数学归纳法证明．

①当时，因为是方程的正根，所以．

②假设当时，，

因为

　　　　　　 ，

所以．

即当时，也成立．

根据①和②，可知对任何都成立．

(2)证明：由，()，

得．

因为，所以．

由及得，

所以．

(3)证明：由，得

所以，

于是，

故当时，，

又因为，

所以．

1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；

直接证明的两种基本方法--分析法和综合法

⑴ 综合法 --　　　　　　 ；⑵分析法 --　　　　　　 ；  