1．有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式．

3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其　　 　　出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．

例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 (　 )

A．p:0＝；q:0∈

B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； y＝sinx在第一象限是增函数

C．；不等式的解集为

D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4

解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，

命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．

变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么(　 )

A．命题p和命题q都是假命题

B．命题p和命题q都是真命题

C．命题p和命题“非q”真值不同

D．命题q和命题p的真值不同

解： D

例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

(1) 若q<1，则方程x²+2x+q＝0有实根；

(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；

(3) 若x²+y²＝0，则x、y全为零.

解：(1)逆命题：若方程x²+2x+q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x²+2x+q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x²+2x+q＝0无实根，则q≥1，为真命题．

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．

(3)逆命题：若x、y全为零，则x²+y²＝0，为真命题．

否命题：若x²+y²≠0，则x、y不全为零，为真命题．

逆否命题：若x、y不全为零，则x²+y²≠0，为真命题．

变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：　

(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；　

(2)矩形的对角线互相平分且相等；　

(3)相似三角形一定是全等三角形.　

解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.　

原命题为真命题，否命题也为真命题.　

(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”　

原命题是真命题，否命题是假命题.　

(3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.　

原命题是假命题，否命题是真命题.

例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．

解：p：有两个不等的负根．

q：无实根．

因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．

(ⅰ) 当p真且q假时，有；

(ⅱ) 当p假且q真时，有．

综合，得的取值范围是{或}．

变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a^x在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.

　 解 ： 由函数y=a^x在R上单调递减知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,　

则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要y_min>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,则0<a≤若p假q真，则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤或a≥1.

例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x²－2y+，b＝y²－2z+，c＝z²－2x+．求证：a、b、c中至少有一个大于0．

证明：假设都不大于0，即 ，则

而

＝

，．

相矛盾．因此中至少有一个大于0．

变式训练4：已知下列三个方程：①x²+4ax－4a+3＝0，②x²+(a－1)x+a²＝0，③x²+2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

解：设已知的三个方程都没有实根．

则

解得．

2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题　　　　　　 、否命题　　　　　　 、逆否命题　　　　　　 ．原命题与它的逆否命题同　　　　　　 、否命题与逆命题同　　　　　 ．

1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：　　　　　　　 、否命题：　　 　　　逆否命题：　　　　　　 .

3．判断复合命题的真假的方法-真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的　　　　 当p与q都真时，p且q形式的复合命题　　　　　　 ，其他情形　　　　　 ；当p与q都　　　 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形　　　　　　 ．

2．逻辑联结词有　　　　　　 　，不含　　　　　　　　 的命题是简单命题．

由　　　　　　　　 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：　　　　　　 ，(其中p，q都是简单命题)．

1． 可以　　　　　　 的语句叫做命题．命题由　　　　　　 两部分构成；

命题有　　　　　　　 之分；数学中的定义、公理、定理等都是　　　　　　 命题．

5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且P_o∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

第2课时　 空间向量的坐标运算

设a＝，b＝

(1) a±b＝　　　　　　　　

(2) a＝　　 　　　　　　．

(3) a·b＝　　　　　 ．

(4) a∥b　　　　　　 ；ab　　　　 ．

(5) 设

则＝　　　　　　 ，　　　　　　　 ．

AB的中点M的坐标为　　　　　　　　 ．

例1. 若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)

(1)若(k+)∥(－3)，求实数k的值；

(2)若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；

(3)若取得最小值，求实数k的值．

解：(1)；

(2)；　 　(3)

变式训练1. 已知为原点，向量∥，求．

解：设，

∵∥，∴，，

∴，即

解此方程组，得。

　　　 ∴，。

例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A₁B₁、A₁A是的中点．

(1) 求BM的长；　

(2) 求的值；　

(3) 求证：．

解：以C为原点建立空间直角坐标系.

(1) 依题意得B(0，1，0)，M(1，0，1)．.

(2) 依题意得A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2).

.

(3) 证明：依题意得C₁(0，0，2)，N.

变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；

(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．

解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC，

∴

即

，即点N的坐标为(, 0, 1)，

从而N到AB、AP的距离分别为1，.

(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝

＝.

例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．

(1) 证明 平面；

(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；

(3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论．

解：(1)证明略；

(2)易解得；

(3)解　 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)．由题设条件，相关各点的坐标为

所以，，

，设点F是棱上的点，，其中，则．令得

解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．

例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.

(1) 求和点G的坐标；

(2) 求GE与平面ABCD所成的角；

(3) 求点C到截面AEFG的距离．

解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，

E(1，4，3)，F(0，4，4)　 ∴

又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)

＝(－1，0，1)　 ∴z＝1　 ∴G(0，0，1)

(2)平面ABCD的法向量

，设GE与平面ABCD成角为，则

∴

(3)设⊥面AEFG，＝(x₀，y₀，z₀)

∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)

∴

取z₀＝4，则＝(4，－3，4)

∵

即点C到截面AEFG的距离为．

变式训练4. 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．

　　　 (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；

　　　 (2)求点D到平面PBG的距离；

　　　 (3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，

P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。，

∴GE与PC所成的余弦值为．

　(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .

∵，

∴点D到平面PBG的距离为n |＝.

　(3)设F(0，y，z)，则。

∵，∴，

即，

∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，　 ∴z=1，

对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．

运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．

4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l₁、l₂，AB为其公垂线段，C、D分别为l₁、l₂上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.

3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．