4．避免重复和遗漏．

第4课时　　 排列组合综合题

3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。

2．要注意准确理解“有且仅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义．

1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．

3．组合数性质：

①　

②　

③

④

⑤

例1. 某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.

(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.

(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.

(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.

(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.

解；(1) ＝286　　　 (2) ＝1430　　 (3)　 ＝1287

(4) －＝1716

变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．140　　　　　 B．120　　

C．35　　　　　　　 D．34

解：D

例2. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有(　 )

A、108种　　　　 B、186种　　　　 C.216种　　　　 D、270种

解：没有女生的选法有, 至少有1名女生的选法有种,

所以选派方案总共有：31×=186种。　　　 故选B.

变式训练2：从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有　 (　 )

A．210种　　　　　　 B．420种　

C．630种　　　　　　 D．840种

解：B

例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？

(2) 以平行六面体ABCD-A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？

(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？

解：(1)先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有＝15种，(2)平行六面体中能构成三角形个数＝56为任取两个有种情况，其中共面的有12，因而不共面的有-12种　 (3)

变式训练3：马路上有编号为1， 2， 3， 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.

解：20　 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有种关灯方法．

例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，

(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？

(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．

解：(1)四个点共面的取法可分三类．第一类：再同一个面上取，共有4个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有＝3个面．故有69种．

(2) 用间接法．共＝141个面．

变式训练4：在1， 2， 3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．

(1) 其和是3的倍数　

(2) 其差是3的倍数(大数减小数).

(3) 相加，共有多少个不同的和.

(4) 相乘，使其积为7的倍数.

解：(1) 1650　 (2) 1617　 (3) 197　 (4)1295

2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C^m_n表示．

组合数公式＝　　　　 ＝　　　　　　　　　　

在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式＝　　　 ，它的分子是，分母是与的积．

1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．

第3课时　　 组　 合

3．解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法．

2．解有约束条件的排列问题的几种策略．

a. 特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)

b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理

c. 正难则反，等价转换