3．二项式定理主要有以下应用

①近似计算

②解决有关整除或求余数问题

③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法”)

注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题

④ 杨辉三角形

例1. (1) (06湖南理11)若(ax－1)⁵的展开式中x³的系数是－80，则实数a的值是　　　 ．

(2) (06湖北文8)在的展开式中，x的幂指数是整数的有　　　 项．

(3) (1+x)+(1+x)²+(1+x)³+……+(1+x)⁶展开式中x²项的系数为　　　 ．

解：(1)－2　 (2)5项　 (3)35

变式训练1：若多项式, 则(　　 )

A、9　　　　　　　 B、10　 　　　　　　C、－9　　　　　　 D、－10

解：根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴　　　 故选D。　　　　　

例2. 已知f(x)＝(1+x)^m+(1+x)ⁿ，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x³项的系数取得最小值？最小值是多少？

由题意，则含x³项的系数为+

，当n＝5或6时x³系数取得最小值为30

变式训练2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是(　　 )

A、 －45i　　　　　 B、 45i　　　　 C、　 －45　　　　 D、45

解析： 第三项,第五项的系数分别为,

依据题意有：,

整理得

即解方程(n－10)(n+5)＝0

则只有n=10适合题意.由,

当 　时,有r=8,

故常数项为=45　　　 故选D

例3. 若求()+()+……+()

解：对于式子：

令x=0，便得到：=1

令x=1，得到=1

又原式：()+()+……+()

=

∴原式：()+()+……+()=2004

注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.

变式训练3：若，则的值是　　　 (　 )

A．　 　　　　 B．1　　 　　

C．0　　 　　　　　　 D．2

解：A

例4. 已知二项式，(n∈N)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的

比是10：1，

(1)求展开式中各项的系数和

(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项

解：(1)∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，

∴，解得n=8

令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1

(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,

若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：

≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；

所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120

变式训练4：①已知()ⁿ的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.

②求(x－1)－(x－1)²+(x－1)³－(x－1)⁴+(x－1)⁵的展开式中x²项的系数.

解：

2．二项式定理中，二项式系数的性质有：

① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：

② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：

第　　　 项的二项式系数最大，为　　　 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第　　　　 项及每　　　　 项，它们的二项式系数最大，为　　　　

③ 二项式系数的和等于_---------，即_------------

④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝　　　　　 即　　 　　　　

⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：

1．(a+b)ⁿ＝　　　　　 (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)ⁿ的二项展开式，其中的系数　　　 叫做二项式系数．式中的　　　　　 叫做二项展开式的通项，用T_r+1表示，即通项公式T_r+1＝　　　　 是表示展开式的第r+1项．

3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.

2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.

1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.

4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.

例1. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：

(1)甲必须在排头；

(2)甲必须在排头，并且乙在排尾；

(3)甲、乙必须在两端；

(4)甲不在排头，并且乙不在排尾；

(5)甲、乙不在两端；

(6)甲在乙前；

(7)甲在乙前，并且乙在丙前；

(8)甲、乙相邻；

(9)甲、乙相邻，但是与丙不相邻；

(10)甲、乙、丙不全相邻

解析：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：×=24种

(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：××=6种

(3)首先排两端有种，再排中间有种，

所以甲、乙必须在两端排法种数为：×=12种

(4)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：－2+=78种

(5)因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，

所以甲、乙不在两端排法种数为×=36种

(6)因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：÷2！=60种

(7)因为甲、乙、丙共有3！种顺序，

所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：÷3！=20种

(8)把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为×=48种

(9)首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为××=24种

(10)因为甲、乙、丙相邻有×，

所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×=84种

变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．45种　　　　 B．36种　

C．28种　　　　 D．25种

解：C.　 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C＝28种；或用插排法．

例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？

(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？

解：(1)分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有种

(2)分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种

变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是　　　 (　 )

A．504　　　　　 B．210　

C．336　　　　　 D．120

解：A＝504 故选A　

例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？

解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。

设直线的倾斜角为，并且为锐角。

则tan=－＞0,不妨设a＞b,那么b＜0

当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条

当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条

故符合条件的直线有7+36=43条

变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.

解：

例4. 从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解：a，b，c　 a，b，c成等差数列　 要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有A+A＝180(个)

变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？

解：设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15－(x+y)场，依题意有：x≥9 。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0．

3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.

2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.

1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.