1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.

[例1]求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：(1)若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；(2)若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；(3)a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.

3x+4y－1=0，　　

方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.

则=.

解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为

y－(－2)=－(x－3)，

即2x+11y+16=0.

方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x₀，y₀)，

=，

解得B(，－).

由两点式得直线b的方程为

=，即2x+11y+16=0.

方法三：设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x+4y－1=0的对称点Q(x₀，y₀)，则有

3×+4×－1=0，

=.

解得x₀=，y₀=.

Q(x₀，y₀)在直线a：2x+y－4=0上，

则2×+－4=0，

化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.

方法四：设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x₀，4－2x₀)，且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有

=，

=.

消去x₀，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0(舍).

◆提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;

2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.

[例2].已知ΔABC中点A(3,-1),AB边上的中线为:6x+10y-59=0,∠B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.

解:设B(a,b),在∠B的平分线上,则a-4b+10=0　　　　 ①

又AB的中点在CM上,有:

　 　　②　

解①,②得B(0,5).设∠B平分线交AC于点T.

∵,

由

∴BC的方程为2x+9y-65=0.

法2:(1)求B的坐标;　 (2)求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求(BC).

[例3]已知点M(3，5)，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。

解：可求得点M关于的对称点为(5，1)，

点M关于y轴的对称点为(-3，5)，则

的周长就是，连，

则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。

直线的方程为，直线

与y轴的交点坐标为，由方程组

　得交点，∴点、即为所求。

◆特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。

[例4]已知长方形的四个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄(入射角等于反射角).设P₄的坐标为(x₄，0).若1<x₄<2，求tanθ的取值范围.

解：设P₁B=x，∠P₁P₀B=θ，则CP₁=1－x，

∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均为θ，

∴tanθ==x.

又tanθ===x，

∴CP₂==－1.

而tanθ====x，

∴DP₃=x(3－)=3x－1.

又tanθ====x，

∴AP₄==－3.

依题设1<AP₄<2，即1<－3<2，

∴4<<5，>>.

∴>tanθ>.

[研讨.欣赏]已知抛物线y=ax²－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.

解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，线段PQ的中点为M(x₀，y₀)，设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程

ax²－x－(1+b)=0.　　　　　　 　　 ①

判别式Δ=1+4a(1+b)＞0.　　　　　　　 ②

由①得x₀==，y₀=x₀+b=+b.

∵M∈l，∴0=x₀+y₀=++b，

即b=－，代入②解得a＞.

解法二：设同解法一，由题意得

将①②代入③④，并注意到a≠0，x₁－x₂≠0，得

由二元均值不等式易得

2(x₁²+x₂²)＞(x₁+x₂)²(x₁≠x₂).

将⑤⑥代入上式得

2(－+)＞()²，解得a＞.

解法三：同解法二，由①－②，得

y₁－y₂=a(x₁+x₂)(x₁－x₂).

∵x₁－x₂≠0，∴a(x₁+x₂)==1.

∴x₀==.∵M(x₀，y₀)∈l，

∴y₀+x₀=0，即y₀=－x₀=－，从而PQ的中点M的坐标为(，－).

∵M在抛物线内部，

∴a()²－(－)－1＜0.

解得a＞.(舍去a＜0，为什么?)

6.(0,0)

5.解：A(-3，4)关于x轴的对称点(-3，-4)在经x轴反射的光线上；A₁(-3，-4)关于y轴的对称点(3，-4)在经过射入y轴的反射的光线上，∴=

∴所求直线方程为 ，即

6. 直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_________

简答:1-3.CCD；4.(x－6)²+4(y－10)²=4；

5. 光线从点A(-3，4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B(-2，6)，求射入y轴后的反射线的方程。

4．曲线x²+4y²＝4关于点M(3，5)对称的曲线方程为____________.

3.(2004全国II)函数y＝－e^x的图象　 (　 )

A.与y＝e^x的图象关于y轴对称　　B.与y＝e^x的图象关于坐标原点对称

C.与y＝e^－x的图象关于y轴对称　　 D.与y＝e^－x的图象关于坐标原点对称

2.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线　 ( 　)

A.关于x轴对称但不关于y轴对称　　 B.关于y轴对称但不关于x轴对称

C.关于原点对称　　 D.以上都不对

1. (2004全国II)已知圆C与圆(x－1)²+y²＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为　 ( 　)

A.(x+1)²+y²＝1　　　　　　　　 B.x²+y²＝1　　

C.x²+(y+1)²＝1　　　　　　　　 D.x²+(y－1)²＝1