2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知数列的通项公式为
…
_________。
答案:2n+3n.
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……
试用 n表示出第n个图形的边数
.
答案:3×4n-1.
7.在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(原点除外)上给定两点A(0,a)、B(0,b)(a>b>0).试在x轴的正半轴(原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值,并求出这个最大值.
解:由题意作下图,设C(x,0),其中x>0.
又A(0,a),B(0,b)(a>b>0),
则kAC==-
,
kBC==-
.
∴tan∠ACB= =
=
≤
.此时x=
时取等号.故所求点C(
,0),最大值为arctan
.
1. 已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A(1,2),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)△ABC的面积.
解:(1)A点不在两条高线上,从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y-7=0,x-y+1=0.
∴C(-2,-1)、B(7,-7).
∴边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.
(2)∵|BC|=,点A到边BC的高为h=
,从而△ABC的面积是
×3
×
=
.
10. 已知过点A(1,1)且斜率为-m(m>0)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q,过P、Q作直线2x+y=0的垂线,垂足为R、S,求四边形PRSQ面积的最小值.
解:设l的方程为y-1=-m(x-1),
则P(1+,0),Q(0,1+m).
从而可得直线PR和QS的方程分别为
x-2y-=0和x-2y+2(m+1)=0.
又PR∥QS,
∴|RS|=
=.又|PR|=
,
|QS|=,
四边形PRSQ为梯形,
S四边形PRSQ=[
+
]·
=(m+
+
)2-
≥
(2+
)2-
=3.6.
∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.
[探索题] (2005上海) 已知函数的定义域为
,且
. 设点
是函数图象上的任意一点,过点
分别作直线
和
轴的垂线,垂足分别为
.
(1)求的值;
(2)问:
是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由;
(3)设为坐标原点,求四边形
面积的最小值.
[解](1)∵ ,
∴ .
(2)设点的坐标为
,则有
,
,
由点到直线的距离公式可知:,
故有,即
为定值,这个值为1.
(3)由题意可设,可知
.
∵ 与直线
垂直,∴
,即
,解得
,又
,∴
.
∴,
,
∴ ,
当且仅当时,等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值
.
备选题
9. 已知直线经过点P(3,1),且被两平行直线
:x+y+1=0和
:x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线
的方程。
解法一:若直线的斜率不存在,则直线
的方程为
|
B1(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,
符合题意。
若直线的斜率存在,则设
的方程为y=k(x-3)+1,
解方程组
y=k(x-3)+1
x+y+1=0
得A(-
)
解方程组
y=k(x-3)+1
x+y+6=0
得B(,-
)
由|AB|=5得
()2+(
)2=25,
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1。
综上可知,所求的方程为x=3或y=1。
解法二:由题意,直线l1、l2之间的距离为d=,且直线
被直线l1,、l2所截的线段AB的长为5,设直线l与l1的夹角为θ,则
sinθ=,故θ=450。
由直线:x+y+1=0的倾斜角为1350,知直线
的倾斜角为00或900,又由直线
过点P(3,1),故所求
的方程为x=3或y=1。
解法三:设直线与
、
分别相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+y1+1=0,
x2+y2+6=0。两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ①
又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 ②
联立 ① ②,可得 x1-x2=5 x1-x2=0
y1-y2=0 y1-y2=5
由上可知,直线的倾斜角为00或900,又由直线
过点P(3,1),故所求
的方程为x=3或y=1。
8. 求满足下列条件的直线的方程
⑴在y轴上的截距为,且它与两坐标轴围成的三角形面积为6
⑵与直线的夹角为
,且交点在x轴上
解:⑴设直线的方程为,由题意得
,
当时,直线
的方程为
即
当时,直线
的方程为
即
⑵直线交x轴于点(
),可设
的方程为
由两直线夹角公式有
,
或
的方程为
或
,
即或
点评:求直线方程时,可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式,再根据题中其他条件确定方程中的待定系数
7.直线被两条直线
:4x+y+3=0和
:3x─5y─5=0截得的线段中点为P(─1,2),求直线
的方程
解:设点(a,b)在上,依题意,(─2─a,4─b)在直线
上,
∴ ,解之得:
由两点式得直线AB的方程为:3x+y+1=0
4. x=5或y=-2; 5.; 6. ①
[解答题]
3.解:由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC,
得lg(sinB)2=lg(sinA·sinC).
∴sin2B=sinA·sinC.
设l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0.
∵=
=
=
,
=
,
=
=
=
,
∴=
=
,l1与l2重合.答案:D
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