重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升

难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.

3．情感、态度与价值观

在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.

2．进程与方法

在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.

1．知识与技能

利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.

合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.

教学环节	教学内容	师生互动	设计意图
提出问题引入课题	观察函数在 [0，+∞)上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 在同一坐标中函数图象如下 　 　 结论：若0＜x＜16则 若x＞16则	师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？ 师生合作观察研究函数的增长快慢. ①x∈(0，16)时，的图象在图象上方 可知增长较快 ②时，的图在图象下方， 可知增长较快	由问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法.	1．实例探究： 比较函数y=2x，y= x2，y = log2x的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证 ②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标. 2．规律总结 ①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0­，当x＞x0­时，就会有ax＞xn. ②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. ③在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.	师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究 ①列表 x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 y =2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 y =x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 y=log­2­x –2.322 –0.737 0 0.485 0.848 x 2.2 2.6 3.0 3.4 … y=2x 4.595 6.063 　8 10.556 … y=x2 4.84 6.76 9 11.56 … y=log­2­x 1.138 1.379 1.585 1.766 … ②作图 ③结论 x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x. 进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢. ①列表 x 0 1 2 3 4 y=2x 1 2 4 8 16 y=x2 0 1 4 9 16 x 5 6 7 8 … y=2x 32 64 128 256 … y=x2 25 36 49 64 … ②作图 ③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2	由特殊到一般探究规律
巩固练习	在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况： (1)y=0.1ex–100,x∈[1,10]； (2)y=20lnx+100,x∈[1,10]； (3)y=20x, x∈[1,10].	三个函数图象如下： 由图象可以看到，函数(1)以“爆炸”式的速度增长；函数(2)增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数(3)以稳定的速率增加.	进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业	3.2 第一课时　 习案	学生独立完成	巩固知识，培养能力

备选例题

例1　 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：

第一种方案：存入银行，年利润Q_1­ = 0.018x；

第二种方案：借给朋友投资，年利润Q_2­ = 0.02x + 0.2；

第三种方案：办工厂，年利润Q₃ = 0.2x² + 2x – 35；

问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.

(2)投资10万元，选择哪种投资方案.

[解析] (1)投资4万元，则有：

Q₁ = 0.072；Q₂ = 0.28；Q₃ = – 23.8，

∴Q₂＞Q₁＞Q₃

∴选择第二种方案

(2)投资10万元，则有：Q₁ = 0.18；Q₂ = 0.4；Q₃ = 5，

∴Q₃＞Q₂＞Q₁，

∴选择第三种方案.

例2　 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30天)的通话时间x(分)，与通话费y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费y₁， y_2­与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.

[分析](1)由图象可设y₁ = k₁x +29，y₂ = k₂x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y₁，y₂得.

∴.

(2)令y₁ = y₂，即，则.

当x = 96时，y₁ = y₂，两种卡收费一致；

当x＜96时，y₁＞y­₂，即如意卡便宜；

当x＞96时，y₁＜y₂，即便民卡便宜.

[评析]本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.

重点：函数增长快慢比较的常用途径；

难点：了解影响函数增长快慢的因素.

3．情感、态度与价值观

通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.

2．过程与方程

利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.

1．知识与技能

(1)掌握几种常用函数增长快慢的比较方法

(2)熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律

15．五块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上，每块木板的长度为0.5m，质量为0.6 kg。在第一块长木板的最左端放置一质量为0.98 kg的小物块。已知小物块与长木板间的动摩擦因数为0.2，长木板与地面间的动摩擦因数为0.1，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。一颗质量为0.02 kg的子弹以的150 m/s水平速度击中小物块并立即与小物块一起在长木板表面滑行，重力加速度g取10 m/s²。

(1)分析小物块滑至哪块长木板时，长木板才开始在地面上滑动。

(2)求物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离。